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CF538H Summer Dichotomy

题意

• 有 $T$ 名学生，你要从中选出至少 $t$ 人，并将选出的人分成两组，可以有某一组是空的。
• 有 $n$ 名老师，每名老师要被分配到两个小组之一，对于第 $i$ 名老师，要求所在的小组中的学生人数 $\in [l_i, r_i]$。
• 此外，有 $m$ 对老师不能在同一个小组中。
• 你需要判断能否满足所有要求，如果可以，请给出一种方案。
• $t \le T \le 10^9$，$n,m \le 10^5$。

题解

先不考虑 $t,T$ 的限制，可以证明 $n_1 = \min_{i=1}^n r_i$，$n_2 = \max_{i=1}^n l_i$ 是最优的。

证明如下：

将所有 $[l_i, r_i]$ 当作一条数轴上的线段，那么有三种情况：

1. 有三条线段两两不交，则无解。
2. 所有线段两两有交，即有 $n_1 \ge n_2$，则在这种情况下，每个老师都可以随意的选择小组。
3. $n_1 < n_2$，在这种情况下，显然 $n_1$ 不能更大，而更小则不优，$n_2$ 同理。

因此 $n_1 = \min_{i=1}^n r_i$，$n_2 = \max_{i=1}^n l_i$ 一定是最优的。

如果考虑 $t,T$ 的限制呢？可以发现，若 $n_1 + n_2 < t$，则无论哪种情况下，只增大 $n_2$ 是最优的；若 $n_1 + n_2 > T$，则无论哪种情况下，只减小 $n_1$ 的最优的。

因此我们可以直接求出最优的 $n_1,n_2$，最后做一次二分图染色即可。

时间复杂度 $\mathcal O(n+m)$。

代码

#define Fail return prints("IMPOSSIBLE"), 0

const int N = 1e5 + 7;
int t, T, n, m, l[N], r[N], n1 = 1e9 + 1, n2 = -1, c[N];
vi e[N];

inline bool pd(int x, int i) {
    return l[i] <= x && x <= r[i];
}

bool dfs(int x) {
    for (auto y : e[x])
        if (!c[y]) {
            c[y] = 3 - c[x];
            if (!dfs(y)) return 0;
        } else if (c[x] == c[y]) return 0;
    return 1;
}

int main() {
    rd(t), rd(T), rd(n), rd(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        rd(l[i]), rd(r[i]), n1 = min(n1, r[i]), n2 = max(n2, l[i]);
    if (n1 + n2 < t) n2 = t - n1;
    if (n1 + n2 > T) n1 = T - n2;
    if (n1 < 0 || n2 < 0) Fail;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        bool o1 = pd(n1, i), o2 = pd(n2, i);
        if (!o1 && !o2) Fail;
        if (o1 && !o2) c[i] = 1;
        if (!o1 && o2) c[i] = 2;
    }
    for (int i = 1, x, y; i <= m; i++)
        rd(x), rd(y), e[x].pb(y), e[y].pb(x);
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (c[i] && !dfs(i)) Fail;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!c[i]) {
            c[i] = 1;
            if (!dfs(i)) Fail;
        }
    string ans = "";
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += c[i] + '0';
    prints("POSSIBLE"), print(n1, ' '), print(n2), prints(ans); 
    return 0;
}