高等代数Ⅰ 课程笔记

设 $\mathbb Q \subseteq K \subseteq \mathbb{C}$，称 $K$ 为一个数域，当：
1. $0,1 \in K$。
2. $\forall a, b \in K$，$a \pm b, ab \in K$，且对 $b \neq 0$，$b^{-1} \in K$。
Gauss–Jordan 消元法在数域上实现。

环

称 $(R,+, \cdot, 0_R, 1_R)$ 或 $R$ 为环，其中 $R$ 是集合，$0_R, 1_R \in R$，$+ : R \times R \rightarrow R$ 和 $\cdot: R \times R \rightarrow R$ 是二元运算，使得 $\forall x,y,z \in R$：
1. 加法运算 $x + y$ 满足：
- 交换律：$x+y=y+x$。
- 结合律：$(x+y)+z=x+(y+z)$。
- 么元：$x+0_R=x=0_R+x$。
- 加法逆元：$\exist (-x) \in R$，$x+(-x)=0_R$。
1. 乘法运算 $x \cdot y$（简写为 $x y$）满足：
- 结合律：$(x y) z=x(y z)$。
- 么元：$x \cdot 1_R=x=1_R \cdot x$。
1. 乘法对加法满足：
- 分配律：$(x+y) z=x z+y z$，$z(x+y)=z x+z y$。
最平凡的环是零环，这是只有单个元素 $1 = 0$ 的环。
如果 $R$ 的子集 $R_0$ 包含 $0_R, 1_R$，且对加法、乘法运算和加法取逆封闭，则 $R_0$ 也是环，称为 $R$ 的子环。
如果环 $R$ 的乘法也满足交换律 $xy = yx$，则称 $R$ 为交换环。
设 $x\in R$，若 $\exist x^{-1} \in R$ 使得 $x \cdot x^{-1}=1=x^{-1} \cdot x$，则称 $x$ 可逆，$x^{-1}$ 为 $x$ 的乘法逆元。
由可逆元构成的子集记为 $R^{\times}$，则 $1 \in R^{\times}$，且 $R^{\times}$ 对乘法运算和乘法取逆封闭。
满足 $R^{\times} = R \setminus {0}$（非零元皆可逆）的非零环称为除环，交换除环称为域。
域的子环如果也构成域，则称之为子域，数域即为 $\mathbb {C}$ 的子域。

序

$S$ 上的偏序关系 $\le$ 满足：
1. $a \le a$。
2. 若 $a \le b$，$b \le c$，则 $a \le c$。
3. 若 $a \le b$，$b \le a$，则 $a = b$。
$S$ 上的全序关系 $\le$ 是一种特殊的偏序关系，满足 $\forall a, b \in S$，$a \le b$ 或 $b \le a$，即任意两个元素皆可比较大小。

等价关系

$S$ 上的等价关系 $\sim$ 满足：
1. $a \sim a$。
2. 若 $a \sim b$，$b \sim c$，则 $a \sim c$。
3. 若 $a \sim b$，则 $b \sim a$。
设非空子集 $C \subseteq S$，称 $C$ 为 $S$ 中的一个等价类，当：
1. $\forall a,b \in C$，$a \sim b$。
2. 若 $a \in C$，$b \in S$，$a \sim b$，则 $b \in C$，即 $C$ 对 $\sim$ 封闭。
若 $C$ 是等价类且 $a \in C$，称 $a$ 是 $C$ 的一个代表元，$C$ 也可写作 $[a]$。
商集 $S / \sim$：$S$ 中所有相对于 $\sim$ 的等价类。
商映射 $q : S \to S/\sim$：映 $s \in S$ 为含 $s$ 的唯一等价类。

同余

同余关系 $x \equiv y \pmod m$ 是 $\mathbb Z$ 上的等价关系。
剩余系 $\mathbb Z / m\mathbb Z $：$\mathbb Z / (\equiv \mod m)$。
$\mathbb Z / 0\mathbb Z = \mathbb Z$，对 $m \ge 1$，$\mathbb Z / m \mathbb Z = {[i]_{i=0}^{m-1}}$。
$\mathbb Z / m\mathbb Z$ 是一个交换环。
$(\mathbb Z / 0\mathbb Z)^\times = {1,-1}$，对 $m \ge 1$，$(\mathbb Z / m \mathbb Z)^\times = {[x] \in \mathbb Z / m \mathbb Z:\gcd(x,m) = 1}$。
$\mathbb Z / p\mathbb Z$ 是域，其中 $p$ 为素数。

多项式环

设 $R$ 为非零环，定义多项式环 $R[x]$：${\sum_{i=0}^n a_ix^i :a_i \in R}$。
$R$ 为 $R[x]$ 的子环。
若 $R$ 为交换环，则 $R[x]$ 亦然。

同态和同构

设 $R,R^\prime$ 为环，称 $f:R \to R^\prime$ 为环同态，当 $\forall x,y \in R$：
- $f(x+y) = f(x) + f(y)$。
- $f(xy) = f(x)f(y)$。
- $f(1_R) = 1_{R^\prime}$。
$f(R)$ 为 $R^\prime$ 的子环。
若环同态 $f:R \to R^\prime$ 为双射，则称 $f$ 为环同构，$R$ 和 $R^\prime$ 同构，记为 $f: R \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R^{\prime}$，且有逆 $f^{-1} : R^\prime \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R$。

向量空间和线性映射

选定域 $F$。

回到线性方程组

考虑线性方程组 $\begin{cases}
\sum_{i=1}^{n}a_{1i} x_i&=b_1 \
& \vdots \
\sum_{i=1}^{n}a_{mi} x_i&=b_m
\end{cases}$。
$\forall i$，$b_i = 0$ 的线性方程组称为齐次线性方程组。
定义映射 $T : F^n \to F^m$，$(x_i){i=1}^n \mapsto (\sum{i=1}^na_{ji}x_i)_{j=1}^m$。
解线性方程组相当于研究 $T^{-1}(b_j)_{j=1}^m$。
在 $F^n$ 上定义：
- 加法：$(x_i){i=1}^n+(x^\prime_i){i=1}^n=(x_i+x_i^{\prime})_{i=1}^n$。
- 数乘：$t(x_i){i=1}^n=(tx_i){i=1}^n$。
$T(x + y) = T(x) + T(y)$，$T(tx) = tT(x)$。
对于一个 $n$ 元齐次线性方程组，若主元有 $r$ 个，则有基础解系 $(v_i)_{i=1}^{n-r}(v_i \in F^n)$，对于 $v_i$，第 $i$ 个非主元为 $1$，其余非主元为 $0$，主元由非主元唯一确定。

向量空间

称 $(V,+,\cdot,0_V)$ 或 $V$ 为向量空间，其中 $V$ 是集合，$0_V \in V$，$+ : V \times V \rightarrow V$ 和 $\cdot: F \times V \rightarrow V$ 是二元运算，使得 $\forall x,y,z \in V$，$\forall s,t \in F$：
1. 加法运算 $x + y$ 满足：
- 交换律：$x+y=y+x$。
- 结合律：$(x+y)+z=x+(y+z)$。
- 么元：$x+0_V=x=0_V+x$。
- 加法逆元：$\exist (-x)\in R$，$x+(-x)=0_V$。
1. 数乘运算 $t \cdot y$（简写为 $t y$）满足：
- 结合律：$s(ty)=(st)y$。
- 么元：$1 \cdot y = y$。
1. 数乘对加法满足：
- 分配律：$(s+t)y = sy + ty$，$t(x+y) = tx+ty$。
最平凡的向量空间是 ${0}$。
如果 $V$ 的子集 $V_0$ 包含 $0_V$，且对加法和数乘运算封闭，则 $V_0$ 也是向量空间，称为 $V$ 的子空间。

矩阵空间

矩阵乘法满足：
- 结合律：$(AB)C = A(BC)$。
- 分配律：$A(B+C) = AB+AC$，$(A+B)C = AC+BC$。
- 线性：$t(AB) = A(tB) = (tA)B$。
$\mathrm M_{n\times n}(F)$ 构成环，$n \ge 2$ 时非交换。
线性方程组实际上是矩阵乘法 $\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\vdots & \ddots & \vdots\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\vdots\x_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_{1}\\vdots\b_{m}\end{pmatrix}$。

基和维数

设 $V$ 是向量空间，$S \subseteq V$。
- 称形如 $\sum_{s \in S} a_ss$ 的向量为 $S$ 中元素的线性组合，记为 $\lang S \rang$，则 $\lang S \rang$ 为 $V$ 的子空间。若 $\lang S \rang = V$，则称 $S$ 为 $V$ 的生成系。
- 称形如 $\sum_{s \in S} a_ss = 0$ 的等式为 $S$ 中的线性关系。若 $a_s$ 不全为 $0$，则称此关系非平凡。若 $S$ 中存在非平凡的线性关系，则称 $S$ 线性相关，否则称 $S$ 线性无关。
- 若 $S$ 为 $V$ 线性无关的生成系，则称 $S$ 为 $V$ 的基。$\forall v \in V$，$\exist!(t_s){s \in S}$，$v = \sum{s\in S} t_ss$。
如下三个命题等价：
1. $S$ 是 $V$ 的基。
2. $S$ 是 $V$ 的极小生成系。
3. $S$ 是 $V$ 的极大线性无关子集。
设 $V$ 是有限维向量空间，则 $V$ 有基，$V$ 的所有基都有相同的元素个数，称为 $V$ 的维数，记为 $\dim V$。
$F^n$ 的标准基 $(e_i)_i$，对于 $e_i$，第 $i$ 个分量为 $1$，其余分量为 $0$。
$\mathrm M_{m \times n}(F)$ 的标准基 $(E_{ij}){i,j}$，对于 $E{ij}$，第 $(i,j)$ 个矩阵元为 $1$，其余矩阵元为 $0$。

线性映射

设 $V,W$ 是向量空间，称映射 $T:V\to W$ 为线性映射，满足：
- $T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)$。
- $T(tv) = tT(v)$。
若 $T : U \to V$ 和 $S : V \to W$ 都是线性映射, 则其合成 $ST : U \to W$ 也是线性映射。
若线性映射 $T:V\to W$ 为双射，则称 $T$ 可逆，$V$ 和 $W$ 同构，记为 $T: V \stackrel{\sim}{\longrightarrow} W$，且有逆 $T^{-1} : W \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V$。
设 $V$ 是向量空间，$n = \dim V$，选定一组有序基 $(v_i){i=1}^n$，有 ${(v_i){i=1}^n} \stackrel{1:1}{\longleftrightarrow} {\varphi : F^n \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V}$。
所有 $V \to W$ 的线性映射所构成的集合 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 是向量空间。
合成 $\operatorname{Hom}(V,W) \times \operatorname{Hom}(U,V) \to \operatorname{Hom}(U,W)$，$(S,T) \mapsto ST$ 满足结合律、分配律和线性。
自同态 $\operatorname{End}(V) = \operatorname{Hom}(V,V)$ 构成环，$V = {0}$ 时为零环。

线性映射观矩阵

设 $V,W$ 为向量空间，分别选定有序基 $(v_j){j=1}^n$ 和 $(w_i){i=1}^m$，则有 $\mathcal M : \operatorname{Hom}(V,W) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \mathrm M_{m\times n}(F)$，$T \mapsto (a_{i,j}){1\le i \le m, 1 \le j \le n}$，其中 $Tv_j = \sum{i=1}^m a_{ij}w_i$。
设 $U,V,W$ 为向量空间，$S \in \operatorname{Hom}(V, W)$，$T \in \operatorname{Hom}(U, V)$，则有 $\mathcal M(ST) = \mathcal M(S)\mathcal M(T)$，左式是映射合成，右式是矩阵乘法。
可逆矩阵是环 $\mathrm M_{n \times n}(F)$ 的可逆元。
考虑 $A \in \mathrm M_{m\times n}(F)$，三种初等行变换分别对应一个 $m \times m$ 矩阵的左乘。
- 将 $A$ 的第 $i$ 行乘 $c$ 后加到第 $k$ 行（$i \ne k$）：$\mathcal A(i,k,c) = 1_{m \times m} + cE_{ki}$。
- 交换 $A$ 的第 $i$ 行和第 $k$ 行（$i \ne k$）：$\mathcal B(i,k) = \sum_{j \ne i,k} E_{jj} + E_{ik} + E_{ki}$。
- 将 $A$ 的第 $i$ 行乘 $c$（$c \ne 0$）：$\mathcal C(i,c) = \sum_{j \ne i} E_{jj} + cE_{ii}$。
$\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ 均为可逆矩阵，它们的逆也对应于相同类型的初等行变换。
- $\mathcal A(i,k,c)^{-1} = \mathcal A(i,k,-c)$。
- $\mathcal B(i,k)^{-1} = \mathcal B(i,k)$。
- $\mathcal C(i,c)^{-1} = \mathcal C(i,c^{-1})$。
$\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ 统称为初等矩阵。

从矩阵的转置到对偶空间

设 $A = (a_{ij}){i,j}$，$A$ 的转置 ${}^tA = (a{ji})_{i,j}$。
${ }^t(A+B) ={ }^t A+{ }^t B$，${ }^t(s A) =s \cdot{ }^t A$，${}^t({ }^t A) =A$。
${ }^t(A B)={ }^t B^t A$。
$\mathrm{M}{m \times n}(F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \mathrm{M}{n \times m}(F)$。
设 $A \in \mathrm{M}_{m \times m}(F)$，则 $A$ 可逆等价于 ${ }^t A$ 可逆，且 $({ }^t A)^{-1}={ }^t(A^{-1})$。
初等矩阵的转置仍是初等矩阵。
设 $V$ 为向量空间，其对偶空间 $V^\vee = \operatorname{Hom}(V, F)$。
设 $T:V \to W$ 是线性映射，$T$ 的转置 ${}^tT:W^\vee \to V^\vee$，$\lambda \mapsto \lambda T$。
当 $\dim V < \infty$ 时，$\dim V^\vee = \dim V$。
设 $V$ 有基 $(v_i){i=1}^n$，则其对偶基 $(\breve v_i){i=1}^n$ 构成 $V^\vee$ 的基，满足 $\check{v}i(\sum{j=1}^n x_j v_j)=x_i $。
${}^t\mathcal M(T) = \mathcal M({}^tT)$。

核和像

考虑线性映射 $T:V \to W$。
$T$ 的核 $\ker T = {v \in V : Tv = 0} = T^{-1}(0)$，是 $V$ 的子空间。
$T$ 的像 $\operatorname{im} T = {w \in W : Tv = w(v \in V)}$，是 $W$ 的子空间。
$T$ 是单射等价于 $\ker T = {0}$，$T$ 是满射等价于 $\operatorname{im}T = W$。
$\operatorname{dim} V=\operatorname{dim}\ker T+\operatorname{dim}\operatorname{im} T$。
若 $\dim V = \dim W$，则 $T$ 同构、$T$ 单、$T$ 满三者等价。
秩 $\operatorname{rk}T = \operatorname{dim}\operatorname{im}T$。
考虑线性映射 $U \stackrel{T}{\longrightarrow} V \stackrel{S}{\longrightarrow} W$，有以下性质：
- $\operatorname{rk}(S T) = \operatorname{rk}(S|_{\operatorname{im}T}:\operatorname{im}T \to W) = \operatorname{rk}T – \dim(\ker S \cap \operatorname{im}T)$。
- $\operatorname{rk}S+\operatorname{rk}T – \dim V \le \operatorname{rk}(S T) \le \min{\operatorname{rk}S,\operatorname{rk}T }$。
- 若 $T$ 满，则 $\operatorname{rk}(ST)=\operatorname{rk}S$。
- 若 $S$ 单，则 $\operatorname{rk}(ST)=\operatorname{rk}T $。
$\operatorname{rk}(RST) \ge \operatorname{rk}(RS) + \operatorname{rk}(ST) − \operatorname{rk}S$。
矩阵 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$ 的秩 $\operatorname{rk}A$ 由其对应线性映射 $F^n \to F^m$ 定义，等于 $A$ 列向量生成的子空间的维数（列秩），等于 $A$ 行向量生成的子空间的维数（行秩），等于 $A$ 的主元个数。
对于矩阵 $A \in \mathrm M_{m \times m}(F)$，以下性质等价：
- $A$ 可逆、左可逆、右可逆。
- $\ker A = 0$。
- $\operatorname{rk}A = m$。
- $A$ 可以表为初等矩阵的乘积。
矩阵求逆：$(A|1_{m \times m}) \to (1_{m \times m}|A^{-1})$。

矩阵的相抵

称矩阵 $A,B \in \mathrm M_{m\times n}(F)$ 相抵，若存在可逆矩阵 $Q \in \mathrm M_{m \times m}(F)$ 和 $P \in \mathrm M_{n \times n}(F)$，使得 $B = QAP$。
相抵等价于等秩。

矩阵的共轭或相似

设 $\dim V = n$，$\dim W = m$，$\mathbf v,\mathbf v^\prime$ 是 $V$ 的有序基，$\mathbf w,\mathbf w^\prime$ 是 $W$ 的有序基。
记依赖于基 $\mathbf v,\mathbf w$ 的 $\mathcal M : \operatorname{Hom}(V,W) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \mathrm M_{m\times n}(F)$ 为 $\mathcal M_{\mathbf v}^{\mathbf w}$。
定义 $P_{\mathbf v^\prime}^{\mathbf v}:F^n \to F^n$，$(x^\prime_i){i=1}^n \mapsto (x_i){i=1}^n$，其中 $(x_i){i=1}^n$ 由 $\sum{i=1}^n x_i v_i=\sum_{i=1}^n x_i^{\prime} v_i^{\prime}$ 唯一确定。换言之，$P_{\mathbf v^\prime}^{\mathbf v}$ 实现了从 $\mathbf v^\prime$ 到 $\mathbf v$ 的坐标转换，其对应矩阵称为转换矩阵。
$(P_{\mathbf v^\prime}^{\mathbf v})^{-1} = P_{\mathbf v}^{\mathbf v^\prime}$。
对 $T \in \operatorname{Hom}(V,W)$，有 $\mathcal{M}{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{w}^{\prime}}(T)= P{\mathbf{w}}^{\mathbf{w}^{\prime}} \mathcal{M}{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(T) P{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{v}}$。
对 $T \in \operatorname{End}(V)$，有 $\mathcal{M}{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{v}^{\prime}}(T)=P{\mathbf{v}}^{\mathbf{v}^{\prime}} \mathcal{M}{\mathbf{v}}^{\mathbf{v}}(T) P{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{v}}$。
称矩阵 $A,B \in \mathrm M_{n \times n}(F)$ 共轭或相似，若存在可逆矩阵 $P \in \mathrm M_{n \times n}(F)$，使得 $B = P^{-1}AP$。
共轭是 $\mathrm M_{n \times n}(F)$ 上的等价关系。

直和分解

设 $(V_i){i \in I}$ 是 $V$ 的一族子空间，若对每个 $i \in I$ 都有 $V_i \cap \sum{j \neq i} V_j={0}$，则将 $\sum_{i \in I} V_i$ 记为直和 $\bigoplus_{i \in I} V_i$。
设 $T:V \to W$ 为线性映射，$V = \bigoplus_{i=1}^n V_i$，$W = \bigoplus_{i=1}^m W_i$，有同构 $\operatorname{Hom}(V,W) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \bigoplus_{i,j} \operatorname{Hom}(V_j,W_i)$。
若 $U=\bigoplus_{k \in K} U_k$，$V=\bigoplus_{j \in J} V_j$，$W=\bigoplus_{i \in I} W_i$，考虑线性映射 $U \stackrel{T}{\longrightarrow} V \stackrel{S}{\longrightarrow} W$，有 $(ST){ik} = \sum{j \in J}S_{ij}T_{jk}$。

分块矩阵运算

设 $T \in \operatorname{Hom}(V,W)$，$T_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j,W_i)$，$\mathcal M(T)$ 可由 $mn$ 个 $\mathcal M(T_{ij})$ 构成分块矩阵。
考虑 $T \in \operatorname{End}(V)$，给定 $V = \bigoplus_{i=1}^n V_i$，将 $T$ 表达为 $(T_{ij}){1\le i,j\le n}$，将 $\mathcal M(T) = A$ 表达为 $(A{ij})_{1\le i,j\le n}$。
- 若 $A_{ij} = 0(i \ne j)$，则称 $A$ 是对角的，记作 $A = \operatorname{diag}(T_{ii})_{i=1}^n$，等价于 $T(V_i) \subseteq V_i$。
- 若 $A_{ij}=0(i>j)$，则称 $A$ 是上三角的，等价于 $T(V_i) \subseteq \bigoplus_{j \le i} V_j$。
- 若 $A_{ij}=0(i<j)$，则称 $A$ 是下三角的，等价于 $T(V_i) \subseteq \bigoplus_{j \ge i} V_j$。
- 对角/上三角/下三角三者性质相似，只需讨论上三角的情况。
若 $A,B$ 是上三角的，则 $A+B$ 和 $AB$ 也是上三角的，且其对角分块分别为 $A_{ii}+B_{ii}$ 和 $A_{ii}B_{ii}$。
若 $A$ 是上三角的，则 $A$ 可逆等价于所有 $A_{ii}$ 可逆，此时 $A^{-1}$ 也是上三角的，且其对角分块为 $A_{ii}^{-1}$。

商空间

设 $U$ 是 $V$ 的子空间，若 $v,v^\prime \in V$ 满足 $v – v^\prime \in U$，则记为 $v \sim_U v^\prime$，有 $\sim_U$ 为等价关系。
称 $v + U = {v+u:u\in U}$ 为 $U$ 的陪集，则陪集为等价类，$v$ 为代表元。
定义商空间 $V/U = V/\sim_U$ 为 $U$ 的所有陪集构成的向量空间，有商映射 $q : V \to V/U$，$v \mapsto v + U$。
$\dim V = \dim U + \dim V/U$。
设 $U$ 是 $V$ 的子空间，$T:V \to W$ 是线性映射。
- 若 $U \subseteq \ker T$，则 $\exist! \bar T: V/U \to W$，$v + U \mapsto Tv$ 使得 $V \stackrel{q}{\longrightarrow} V/U \stackrel{\bar T}{\longrightarrow} W$。
- 若 $U = \ker T$，$W = \operatorname{im}T$，则 $\bar T$ 是同构。
设 $T:V \to W$ 是线性映射，余核 $\operatorname{coker}T = W / \operatorname{im}T$。

行列式

置换概论

集合 $X$ 上的置换：双射 $\sigma: x \to x$。
$\mathfrak{S}_X$ 表示 $X$ 上的所有置换；若 $X = {1,\cdots, n}$，则记 $\mathfrak{S}_X$ 为 $\mathfrak{S}_n$，$|\mathfrak{S}_n| = n!$。
置换可以合成、取逆。
对换 $(i\ j)\in \mathfrak{S}_n(i \ne j)$：$k \mapsto \begin{cases}j & k = i\i & k = j \ k & k \ne i,j\end{cases}$。
单对换 $s_i = (i\ i+1)(1 \le i < n)$。
设 $\sigma \in \mathfrak{S}n$，逆序对 $\operatorname{Inv}\sigma={(i, j):\sigma(i)>\sigma(j)}$，逆序数 $\ell(\sigma)=|\operatorname{Inv}_\sigma|$。
$\forall \sigma \in \mathfrak{S}n$，$\exist \tau_1,\cdots,\tau{\ell(\sigma)} \in {s_i:1\le i<n }$，$\sigma = \tau_1\cdots\tau_{\ell(\sigma)}$。
$\exist ! \operatorname{sgn} : \mathfrak{S}_n \to {\pm 1}$，$\sigma \mapsto (-1)^{\ell(\sigma)}$，满足 $\operatorname{sgn}(\sigma_1\sigma_2)=\operatorname{sgn}(\sigma_1) \operatorname{sgn}(\sigma_2)$ 和 $\operatorname{sgn}(s_i) = -1$。
若 $\operatorname{sgn}(\sigma) = 1(-1)$，则称 $\sigma$ 为偶置换（奇置换）。

有向体积

对 $(u_i){i=1}^n \in V^n$，其张成 $\diamond(u_i){i=1}^n = {\sum_{i=1}^n t_i u_i: t_i \in[0,1]}$。
有向体积 $D(u_i){i=1}^n= \begin{cases}0 & u_i \text { 线性相关} \ \diamond(u_i){i=1}^n \text { 的体积} & u_i \text { 线性无关且正向} \ -(\diamond(u_i)_{i=1}^n \text { 的体积}) & u_i \text { 线性无关且负向}\end{cases}$。
$D$ 具有以下性质：
- 退化：若存在 $u_i=u_j(i\ne j)$，则 $D(u_i)_{i=1}^n = 0$。
- 数乘：$D(\cdots, t u_i, \cdots)=t D(\cdots, u_i, \cdots)$。
- 加法：$D(\cdots, u_i+u, \cdots)=D(\cdots, u_i, \cdots)+D(\cdots, u, \cdots)$。

交错形式

记 $\mathcal D_{V,m}$ 表示所有满足退化、数乘、加法的 $m$ 元交错形式 $D:V^m \to F$。
$\mathcal D_{V,m}$ 构成向量空间。若 $m > \dim V$，则 $\mathcal D_{V,m} = {0}$。
令 $\vec v = (v_i){i=1}^m \in V^m$，$\sigma \in \mathfrak{S}_m$，$D \in \mathcal D{V,m}$，则 $\sigma \vec v = (v_{\sigma^{-1}(i)})_{i=1}^m$，$D(\sigma \vec v) = \operatorname{sgn}(\sigma)D(\vec v)$。
$D(\cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots)=D(\cdots, v_i+c v_j, \cdots, v_j, \cdots)$。
若 $v_i$ 线性相关，则 $D(v_i)_{i=1}^m = 0$。
记 $\mathcal D_V = \mathcal D_{V,\dim V}$。若 $\dim V = 0$，$\mathcal D_V = F$。
取 $n$ 维向量空间 $V$ 的有序基 $\mathbf e = (e_i){i=1}^n$，将 $(v_i){i=1}^n \in V^n$ 按此展开，即 $v_i=\sum_{j=1}^n a_{i, j} e_j$，设 $D \in \mathcal D_V$，则 $D(v_i){i=1}^n = \sum{\sigma \in \mathfrak{S}n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} D(\mathbf e)$。
$\dim \mathcal D_V = 1$，且 $\exist! D_{\mathbf e} \in \mathcal D_V$，$D_{\mathbf e}(v_i){i=1}^n = \sum{\sigma \in \mathfrak{S}n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$，满足 $D_{\mathbf e}(\mathbf e) = 1$，此时称 $D_{\mathbf e}(v_i){i=1}^n$ 为 $(v_i){i=1}^n$ 在基 $\mathbf e$ 下的行列式。

行列式

设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，对 $T \in \operatorname{End}(V)$，定义行列式 $\det T$，使得 $\forall D \in \mathcal D_V$，$(v_i){i=1}^n \in V$，$D(Tv_i){i=1}^n = \det T \cdot D(v_i)_{i=1}^n$。
设 $S,T \in \operatorname{End}(V)$，则 $\det (ST) = \det S \cdot \det T$。
若 $T$ 可逆，$\det(T^{-1}) = (\det T)^{-1}$。
设 $T \in \operatorname{End}(V)$，$S:V \stackrel{\sim}{\longrightarrow} W$，则 $STS^{-1} \in \operatorname{End}(W)$ 满足 $\det(STS^{-1}) = \det T$。
$D_{\mathbf e}(Te_i){i=1}^n = \det T \cdot D{\mathbf e}(\mathbf e) = \det T$。
矩阵 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 的行列式 $\det A = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$。
$\det A = \det ({}^tA)$。
$\det (tA) = t^n\det A$。
$\begin{vmatrix}\vdots & & \vdots \a_{i 1}+a^\prime_{i 1} & \cdots & a_{i n}+a^\prime_{in} \\vdots & & \vdots\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vdots & & \vdots \a_{i 1} & \cdots & a_{i n} \\vdots & & \vdots\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\vdots & & \vdots \a^\prime_{i 1} & \cdots & a^\prime_{i n} \\vdots & & \vdots\end{vmatrix}$，$\begin{vmatrix}
\vdots & & \vdots \
c a_{i 1} & \cdots & c a_{i n} \
\vdots & & \vdots
\end{vmatrix}=c\begin{vmatrix}
\vdots & & \vdots \
a_{i 1} & \cdots & a_{i n} \
\vdots & & \vdots
\end{vmatrix}$，列同理。
将从 $n \times n$ 矩阵 $A$ 中删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后余下的 $(n – 1) \times (n – 1)$ 矩阵的行列式称为余子式，记为 $M_{ij}$。
$\forall i$，$\sum_{k=1}^n(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik} = \det A$，列同理。
$\forall i,j$，若 $i \ne j$，则 $\sum_{k=1}^n(-1)^{i+k}a_{jk}M_{ik} = 0$，列同理。

特殊的行列式

对 $\sigma \in \mathfrak{S}n$，置换矩阵 $P{\sigma} = ([i=\sigma(j)]){ij}$，有 $\det P{\sigma} = \operatorname{sgn}(\sigma)$。
设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是上三角矩阵，则 $\det A = \prod_{i=1}^n a_{ii}$。
通过 Gauss–Jordan 消元法可将一般的 $n \times n$ 矩阵化约到上三角矩阵从而计算行列式。
- $\mathcal A(i,k,c)$ 不改变行列式。
- $\mathcal B(i,k)$ 将行列式取反。
- $\mathcal C(i,c)$ 将行列式乘 $c$。
$\begin{vmatrix}
1 & \cdots & 1 \
x_1 & \cdots & x_n \
\vdots & \ddots & \vdots \
x_1^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}=\prod_{1 \le j<i \le n}(x_i-x_j)$。

分块行列式

设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是分块上三角矩阵，则 $\det A = \prod_i \det A_{ii}$。
设 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$，$B \in \mathrm M_{n \times m}(F)$，则 $\det\begin{pmatrix}
1_{n \times n} & B \
A & 1_{m \times m}
\end{pmatrix}=\det(1_{m \times m}-A B)$，且有 $\det(1_{m \times m}-A B)=\det(1_{n \times n}-B A)$。

Cramer 法则

经典伴随矩阵 $A^{\vee} = ((-1)^{j+i}M_{ji})_{ij}$。
$AA^\vee = A^\vee A= \det A \cdot 1_{n\times n}$。
对于 $A = (a_{ij}){i,j} \in \mathrm M{n \times n}(F)$，$A$ 可逆等价于 $\det A \ne 0$，此时有 $A^{-1} = (\det A)^{-1} A^\vee$。
考虑线性方程组 $\begin{cases}
\sum_{i=1}^{n}a_{1i} x_i&=b_1 \
& \vdots \
\sum_{i=1}^{n}a_{ni} x_i&=b_n
\end{cases}$ 的系数矩阵 $A$。
- 若方程组齐次，则解集为 $\ker A$。
- 若 $\det A = 0$，则方程组或者无解，或者解集形如 $(x_i){i=1}^n + \ker A$，其中 $(x_i){i=1}^n$ 是任意一组解。
- 若 $\det A \ne 0$，则方程组有唯一解 $(x_i){i=1}^n$，其中 $x_i = \begin{vmatrix}
  a{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1 n} \
  \vdots & & \vdots & & \vdots \
  a_{n 1} & \cdots & b_n & \cdots & a_{n n}
  \end{vmatrix} / \begin{vmatrix}
  a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1 n} \
  \vdots & & \vdots & & \vdots \
  a_{n 1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{n n}
  \end{vmatrix}$。

特征多项式

选定多项式环 $F[x]$ 和有理函数域 $F(x) = {\frac{f}{g}: f,g \in F[x], g \ne 0}$。
设 $A \in \mathrm M_{n \times n}(F)$ 可逆，则存在非零多项式 $f \in F[x]$，使得 $A^{-1} = f(A)$。
设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$，$A$ 的特征多项式 $\operatorname{Char}A(x)=\det (x \cdot 1{n \times n}-A) = x^n+c_{n-1} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x+ c_0$。
$c_0 = (-1)^n \det A$。
$\operatorname{Char}A = \operatorname{Char}{{}^tA}$，$\operatorname{Char}{AB} = \operatorname{Char}{BA}$，$\operatorname{Char}_{P^{-1} A P}=\operatorname{Char}_A$。
设 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$，$B \in \mathrm M_{n \times m}(F)$，则 $x^n \operatorname{Char}{A B}=x^m \operatorname{Char}{B A}$。
设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是分块上三角矩阵，则 $\operatorname{Char}A = \prod_i \operatorname{Char}{A_{ii}}$。
友矩阵 $C=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \
1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \
0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \
\vdots & & \ddots & & \vdots \
0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1}
\end{pmatrix}$，$\operatorname{Char}C(x) = x^n+c{n-1} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x+ c_0$。
$(-1)^{n-1} A^{\vee}=c_1 \cdot 1_{n \times n}+\cdots+c_{n-1} A^{n-2}+A^{n-1}$。
$(P^{-1} A P)^{\vee}=P^{-1} A^{\vee} P$。
$\operatorname{Char}A(A) = 0{n \times n}$。

迹

$A$ 的迹 $\operatorname{Tr}(A) = -c_{n-1} = \sum_{i=1}^n a_{ii}$。
$\operatorname{Tr}(A+B)=\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(B)$，$\operatorname{Tr}(t A)=t \operatorname{Tr}(A)$。
$\operatorname{Tr}(A) = \operatorname{Tr}({}^tA)$，$\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$，$\operatorname{Tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{Tr}(A)$。
设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是分块矩阵，则 $\operatorname{Tr}(A) = \sum_i \operatorname{Tr}(A_{ii})$。

不变子空间

设 $T \in \operatorname{End}(V)$，如果子空间 $U \subseteq V$ 满足 $T(U) \subseteq U$，则称 $U$ 为 $V$ 的 $T$-不变子空间。

子式

对于非空集合 $I = {i_1,\cdots,i_r:i_1<\cdots<i_r}$ 和 $J = {j_1,\cdots,j_s:j_1<\cdots<j_s}$，矩阵 $A \in \mathrm M_{m\times n}(F)$ 的 $(I,J)$ 子矩阵 $A\left(\begin{array}{l}
I \
J
\end{array}\right) =A\left(\begin{array}{l}
i_1 \cdots i_r \
j_1 \cdots j_s
\end{array}\right) =(a_{i_p, j_q}){p,q} \in \mathrm M{r \times s}(F)$。
若 $|I| = |J|$，则称 $\det A\left(\begin{array}{l}I\J\end{array}\right)$ 为 $(I,J)$ 确定的子式，称 $\det A\left(\begin{array}{l}I\I\end{array}\right)$ 为 $I$ 确定的主子式。
设 $C \in \mathrm{M}{n \times n}(F)$，$1 \leq k \leq n$，则 $-C$ 的特征多项式 $\det(x \cdot 1{n \times n}+C) \in F[x]$ 中 $x^{n-k}$ 项的系数等于 $\sum_{|I|=k} \det C\left(\begin{array}{l}I\I\end{array}\right)$。
设 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$，$B \in \mathrm M_{n \times m}(F)$：
- 若 $m > n$，则 $\det (AB) = 0$。
- 若 $m \le n$，则 $\det(A B)=\sum_{|I|=m} \det A\left(\begin{array}{c}
  1 \cdots m \
  I
  \end{array}\right) \det B\left(\begin{array}{c}
  I \
  1 \cdots m
  \end{array}\right)$。

重访环和多项式

称 $I \subseteq F[x]$ 是 $F[x]$ 的理想，满足：
- $0 \in I$。
- 若 $f,g \in I$，则 $f+g \in I$。
- 若 $f \in I$，$h \in F[x]$，则 $fh \in I$。
对于 $F[x]$ 的理想 $I$，存在唯一的首一多项式 $f$ 满足 $I = \lang f \rang = {fh:h\in F[x]}$。
对于 $f \in F[x] – {0}$，存在唯一分解 $f = \prod_{i=1}^k(x – \alpha_i)^{m_i}g$，其中 $\alpha_i$ 是 $f$ 的根，$m_i$ 是 $\alpha_i$ 的重数，$g$ 在 $F$ 上无根。
若 $m_i = 1$，则称 $\alpha_i$ 为单根；若 $m_i \ge 2$，则称 $\alpha_i$ 为重根，当且仅当 $f(\alpha_i) = f^\prime(\alpha_i) = 0$。
称 $F$ 的特征 $\operatorname{Char}_F = p > 0$，满足 $p \cdot 1_F = 0_F$，此时 $p$ 必须是质数；若不存在这样的 $p$，则 $\operatorname{Char}_F = 0$。
称 $F$ 为代数闭域，满足 $\forall f \in F[x]$，$f$ 要么为常量，要么有根。

对角化

选定 $T \in \operatorname{End}(V)$。

特征值和特征向量

若 $v \in V – {0}$ 满足 $Tv = \lambda v$，则称 $v$ 是 $T$ 的一个以 $\lambda$ 为特征值的特征向量。
$\lambda$ 特征子空间 $V_{\lambda} = {v \in V:Tv = \lambda v} = \ker (\lambda \cdot \operatorname{id}_V – T)$。
$\lambda$ 是 $T$ 的特征值等价于 $\operatorname{Char}_T(\lambda) = 0$，故 $T$ 最多有 $\dim V$ 个特征值。
设 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m \in F$ 且两两相异，$v_i \in V_{\lambda_i}$ 且 $\sum_{i=1}^m v_i = 0$，则 $v_1 = \cdots = v_m = 0$。
若存在 $V$ 的一组基 $v_1,\cdots,v_n$ 使得每个 $v_i$ 都是 $T$ 的特征向量，则称 $T$ 可对角化。
设 $A \in M_{n \times n}(F)$，若 $\exist P \in M_{n\times n}(F)$，$P^{-1}AP$ 是对角矩阵，则称 $A$ 可对角化。
设 $n = \dim V$，若 $T$ 可对角化，则 $\operatorname{Char}T(x)=\prod{i=1}^n(x-\lambda_i)$，$\dim V_\lambda=|{\lambda_i=\lambda}|$。
$T$ 可对角化等价于 $\sum_{\lambda} \dim V_\lambda = \dim V$。
若 $T$ 有 $\dim V$ 个相异的特征值，则 $T$ 可对角化。

极小多项式

对 $h \in F[X]$，有 $T$-不变子空间 $V[h] = \ker(h(T)) = {v \in V : h(T)v = 0}$。
设 $f \in F[X]$ 分解为 $f=\prod_{i=1}^k f_i$，其中 $f_i \in F[X]$ 两两互素。若 $T$ 满足 $f(T)=0$，则有直和分解 $V=V[f]=\bigoplus_{i=1}^k V[f_i]$。
有 $F[x]$ 的理想 $I_T = {h \in F[x]:h(T) = 0}$，故存在唯一的首一多项式 $m_T$ 使得 $I_T = \lang m_T \rang$，称 $m_T$ 是 $T$ 的极小多项式。
由 Cayley-Hamilton 定理可知 $m_T | \operatorname{Char}_T$。
则 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值等价于 $m_T(\lambda) = 0$，故 $m_T$ 和 $\operatorname{Char}_T$ 有相同的根集。
设有直和分解 $V=\bigoplus_{i=1}^k V_i$ 使得每个 $V_i$ 都是 $T$-不变子空间，记 $T_i=T|{V_i}$，则 $m_T$ 是 $m{T_1}, \ldots, m_{T_k}$ 的最小公倍式。
$T$ 可对角化等价于 $m_T = \prod_{i=1}^m (x – \lambda_i)$，其中 $\lambda_i$ 两两相异构成 $T$ 的特征值。

广义特征子空间

记 $V_{[\lambda],n} = V[(x – \lambda)^n]$，有 $V_{[\lambda],0} = {0}$，$V_{[\lambda],1} = V_\lambda$，$V_{[\lambda],n} \subseteq V_{[\lambda],n+1}$。
广义特征子空间 $V_{[\lambda]} = \bigcup_{n \ge 0} V_{[\lambda],n}$。
$V_{[\lambda]} \ne {0}$ 等价于 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值。
设 $\operatorname{Char}T=\prod{i=1}^m(x-\lambda_i)^{a_i}$，$m_T=\prod_{i=1}^m(x-\lambda_i)^{b_i}$，有 $1 \le b_i \le a_i$，$\sum_{i=1}^m a_i = n$。
$V_{[\lambda_i]} = V_{[\lambda_i],b_i} = V[(x-\lambda_i)^{b_i}] = V_{[\lambda_i],\dim V}$。
$V=\bigoplus_{i=1}^m V[(x-\lambda_i)^{b_i}]=\bigoplus_{i=1}^m V_{[\lambda_i]}$。
记 $T_i=T|{V{[\lambda_i]}}$，则 $m_{T_i} | (x-\lambda_i)^{b_i}$，$\operatorname{Char}{T_i}=(x-\lambda_i)^{a_i}$，$\dim V{[\lambda_i]} = a_i$。
对 $\lambda$，其几何重数为 $\dim V_\lambda$，其代数重数为 $\dim V_{[\lambda]}$，$\dim V_{[\lambda]} \ge \dim V_{\lambda}$，取等时 $V_{[\lambda]} = V_\lambda$。
$T$ 可对角化等价于每个特征值的代数重数皆等于几何重数。

双线性形式

称 $B : V_1 \times V_2 \to W$ 是双线性映射，满足 $B(\cdot,V_2),B(V_1,\cdot)$ 都是线性映射。
所有 $V_1 \times V_2 \to W$ 的双线性映射所构成的集合 $\operatorname{Bil}(V_1,V_2;W)$ 是向量空间。
当 $W = F$ 时，双线性映射也称为双线性形式，此时也称为 $V_1$ 和 $V_2$ 的配对；进一步地，当 $V_1 = V_2 = V$ 时，称为 $V$ 上的双线性形式。
$V^\vee$ 和 $V$ 的典范配对 $\lang \cdot,\cdot\rang = \lang \cdot,\cdot\rang_V : V^\vee \times V \to F$，$(\lambda,v) \mapsto \lang \lambda,v\rang = \lambda(v)$。
$\operatorname{Bil}(V,W;F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(V,W^\vee)$，$[B(v,w) = \lang \psi(v),w \rang] \mapsto [\psi: v \mapsto B(v,\cdot)]$；$\operatorname{Bil}(V,W;F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(W,V^\vee)$，$[B(v,w) = \lang \varphi (w),v \rang] \mapsto [\varphi : w \mapsto B(\cdot,w)]$。
$\mathrm{M}{m \times n}(F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Bil}(F^m, F^n ; F)$，$A \mapsto [B(v,w) = {}^tvAw]$，$B(\sum{i=1}^m x_i e_i, \sum_{j=1}^n y_j e_j)=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i y_j$。
设 $B_1 \in \operatorname{Bil}(V_1, V_1^{\prime}; F)$ 和 $B_2 \in \operatorname{Bil}(V_2, V_2^{\prime}; F)$。$B_1$ 和 $B_2$ 的直和 $B:(V_1 \oplus V_2) \times(V_1^{\prime} \oplus V_2^{\prime}) \to F$，$((v_1, v_2),(v_1^{\prime}, v_2^{\prime})) \mapsto B_1(v_1, v_1^{\prime})+B_2(v_2, v_2^{\prime})$ 也是双线性形式。
设 $A \in \mathrm{M}_{n \times n}(F)$，若 ${}^tA = A$，则称 $A$ 对称，若 ${}^tA = -A$，则称 $A$ 反对称。
设 $B \in \operatorname{Bil}(V,V;F)$，若 $B(v_1,v_2) = B(v_2,v_1)$，则称 $B$ 对称；若 $B(v_1,v_2) = -B(v_2,v_1)$，则称 $B$ 反对称。

非退化双线性形式

设 $B \in \operatorname{Bil}(V,W;F)$，$B$ 的左根为 ${v \in V:B(v,\cdot) = 0}$，$B$ 的右根为 ${w \in W:B(\cdot,w) = 0}$，若 $\dim V,\dim W < \infty$ 且左根和右根均为零空间，则称 $B$ 非退化。
设 $\dim V < \infty$，$\lang\cdot,\cdot\rang_V$ 非退化。
设 $B \in \operatorname{Bil}(V,W;F)$，依同构得到 $\psi \in \operatorname{Hom}(V,W^\vee)$ 和 $\varphi \in \operatorname{Hom}(W,V^\vee)$，则 $B$ 的左根为 $\ker \psi$，右根为 $\ker \varphi$。
若 $\dim V,\dim W < \infty$，则仅当 $\dim V = \dim W$ 时才可能存在非退化双线性形式。
设 $\dim V = \dim W < \infty$，对 $B \in \operatorname{Bil}(V,W;F)$，如下三个性质等价，此时 $\psi$ 和 $\varphi$ 都是同构：
- $B$ 非退化。
- $B$ 的左根为零空间。
- $B$ 的右根为零空间。
设 $B \in \operatorname{Bil}(F^n,F^n;F)$，依同构得到 $A \in \mathrm{M}_{n \times n}(F)$，$B$ 非退化等价于 $A$ 可逆。
设 $i = 1,2$，$\dim V_i,\dim V_i^\prime < \infty$，$B_i \in \operatorname{Bil}(V_i,V_i^\prime;F)$，$B_1$ 非退化。存在唯一的线性映射 $\operatorname{Hom}(V_1,V_2) \to \operatorname{Hom}(V_2^\prime,V_1^\prime)$，$T \mapsto {}^T$，满足 $\forall v_1 \in V_1, v_2^\prime \in V_2^\prime$，$B_2(Tv_1,v_2^\prime) = B_1(v_1,{}^Tv_2^\prime)$。其中 ${}^T$ 称为 $T$ 相对于 $B_1$ 和 $B_2$ 的（右）伴随映射。若 $V_1 = V_2$，$V_1^\prime = V_2^\prime$，$B_1=B_2=B$，则 ${}^T$ 称为 $T$ 相对于 $B$ 的（右）伴随映射。同理对 $T:V_1^\prime \to V_2^\prime$ 有左伴随映射 $T^:V_2 \to V_1$ 满足 $B_2(v_2, T v_1^{\prime})=B_1(T^ v_2, v_1^{\prime})$。
${}^(ST) = {}^T{}^*S$。
$({}^T)^ = T = {}^(T^)$。
若 $V_i = V_i^\prime$ 且 $B_1,B_2$ 都对称或都反对称，则 ${}^T = T^$，${}^{}T = T = T^{}$。
设 $B \in \operatorname{Bil}(V,V;F)$ 非退化，对 $T \in \operatorname{End}(V)$，若 ${}^T = T$，则称 $T$ 自伴，对应 ${}^tA = A$；若 ${}^T = -T$，则称 $T$ 反自伴，对应 ${}^tA = -A$。

二次型

下设 $\operatorname{char}(F) \ne 2$，即 $1_F+1_F \ne 0_F$，此时可以作「除以 $2$」的运算。
$n$ 元齐次二次多项式 $f(x_1,\cdots,x_n) = \sum_{1\le i,j\le n} a_{ij}x_ix_j = \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} 2a_{ij}x_ix_j$ 称为 $n$ 元二次型。
$A = (a_{ij}){i,j} \in \mathrm M{n \times n}(F)$ 是对称矩阵，$[B(v_1,v_2) = {}^tv_1Av_2] \in \operatorname{Bil}(F^n,F^n;F)$ 是对称双线性形式。
$B(v,v) = f(v)$，$B(v_1,v_2) = \frac 12(f(v_1+v_2) – f(v_1) – f(v_2))$。
若 $\dim V < \infty$，$B \in \operatorname{Bil}(V,V;F)$ 对称，则有二次型 $(V,B)$。此时 $B$ 的左根等于右根，统称为 $B$ 的根基。若 $B$ 非退化，则称 $(V,B)$ 非退化。从 $(V, B)$ 到 $(V^{\prime}, B^{\prime})$ 的同构为满足 $B^{\prime}(\varphi(v_1), \varphi(v_2))=B(v_1, v_2)$ 的线性同构 $\varphi: V \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V^{\prime}$。
设 $A,A^\prime \in \mathrm M_{n \times n}(F)$，若存在可逆的 $C \in \mathrm M_{n \times n}(F)$ 使得 $A^\prime = {}^tCAC$，则称 $A$ 和 $A^\prime$ 合同。
合同是 $\mathrm M_{n \times n}(F)$ 上的等价关系。
若 $A$ 和 $A^\prime$ 合同，$A$ 对称，则 $A^\prime$ 对称。
设 $f,f^\prime$ 为 $n$ 元二次型，对应的对称矩阵为 $A,A^\prime \in \mathrm M_{n \times n}(F)$，则 $f,f^\prime$ 同构等价于 $A,A^\prime$ 合同。

配方法

任意 $n$ 元二次型都同构于形如 $\sum_{i=1}^n a_ix_i^2$ 的二次型。
将任意 $n$ 元二次型化为 $f = \sum_{i=1}^r a_ix_i^2(a_i \ne 0)$ 的形式，其中 $r$ 成为 $f$ 的秩，则 $f$ 的根基为 $\lang e_{r+1},\cdots,e_n \rang$。
当 $F = \mathbb C$ 时，可进一步化为 $f = \sum_{i=1}^r x_i^2$ 的形式，故二次型同构等价于等秩。

实二次型的分类

当 $F = \mathbb R$ 时，可进一步化为 $f = \sum_{i=1}^p x_i^2 – \sum_{i=p+1}^r x_i^2$ 的形式，称此形式为规范形。
设 $B \in \operatorname{Bil}(V,V;\mathbb R)$ 对称，若 $B(v,v) \ge 0$ 恒成立，则称 $B$ 半正定；进一步地，若对 $v \ne 0$，$B(v,v) > 0$ 恒成立，则称 $B$ 正定。若 $-B$ （半）正定，则称 $B$ （半）负定。以上皆非则称为不定。
$f$ 半正定等价于 $p=r$，$f$ 正定等价于 $p=r=n$。
惯性定理：$n$ 元实二次型的规范形是唯一确定的。
规范形中的 $p$ 称为实二次型 $f$ 的正惯性指数，$r − p$ 称为负惯性指数，而两者的差 $2p − r$ 称为 $f$ 的符号差。

内积空间

取 $F = \mathbb R$。

标准内积

标准内积 $(x|y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i$。

内积空间

实向量空间 $V$ 上的正定对称双线性型 $(\cdot|\cdot) : V \times V \to \mathbb R$ 称为内积，$(V,(\cdot|\cdot))$ 称为内积空间。
若 $\dim V < \infty$，正定性蕴涵非退化。
$v \in V$ 的长度 $|v| = \sqrt{(v|v)}$。
满足 $|v| = 1$ 的向量称为单位向量。
若 $v,w \in V$ 满足 $(v|w) = 0$，则称它们正交，写作 $v \perp w$，此时有 $|v+w|^2=|v|^2+|w|^2$。
配极化：$(v | w)=\frac{1}{2}(|v+w|^2-|v|^2-|w|^2)$。
$(v | w)^2 \leq(v | v)(w | w)$，$v,w$ 线性相关时等号成立。
$|v+w| \leq|v|+|w|$，$v,w$ 线性相关时等号成立。

正交化

若 $V$ 中的一族非零元素两两正交，则称之为正交向量族；若进一步要求它们都是单位向量，则称之为单位正交向量族。
正交向量族必然线性无关。
由单位正交向量族给出的基称为单位正交基。
正交化：设 $V$ 中的一族向量 $v_1,\cdots,v_m$ 线性无关，定义 $w_1 = v_1$，$w_k = v_k-\sum_{i=1}^{k-1} \frac{(v_k | w_i)}{(w_i | w_i)} \cdot w_i(1 < k \le m)$，则 $w_1,\cdots,w_m$ 是正交向量族。
任何有限维内积空间中的单位正交向量族都能扩充为单位正交基。
任何有限维内积空间都有单位正交基。
设 $S \subseteq V$，其正交补 $S^{\perp}:={v \in V: \forall s \in S,(s | v)=0}$。
设 $V_0 \subseteq V$ 且 $\dim V_0 < \infty$，则 $V = V_0 \oplus V_0^{\perp}$。

伴随映射

设 $T \in \operatorname{Hom}(V, W)$，$\dim V,\dim W < \infty$，则 $(Tv_1|Tv_2)_W = (v_1|v_2)_V$ 等价于 ${}^*T \cdot T = \operatorname{id}_V$；进一步地，若 $\dim V = \dim W$，则 ${}^*T = T^{-1}$，对应 ${}^tA = A^{-1}$，此时称 $A$ 正交。

自伴映射的对角化

若 $T \in \operatorname{End}(V)$，$V_0$ 是 $V$ 的 $T$-不变子空间，则 $V_0^\perp$ 是 ${}^*T$-不变子空间。
设 $T \in \operatorname{End}(V)$ 自伴，即 ${}^* T = T$，则 $T$ 可对角化，且存在 $V$ 的单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 使得每个 $v_i$ 都是 $T$ 的特征向量。对应到矩阵，即 ${}^tA = A$，取 $P$ 为以单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 为列向量的矩阵，则 $P$ 正交，$P^{-1}AP$ 将 $A$ 正交对角化，又由于 ${}^tP = P^{-1}$，此又为合同。

顺序主子式

设 $A = (a_{ij}){1\le i,j\le n}$，$n$ 个行列式 $\begin{vmatrix}a{11}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}, \cdots,\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \
\vdots & & \ddots & \vdots \
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}$ 称为 $A$ 的顺序主子式。
设 $B \in \operatorname{Bil}(\mathbb R^n,\mathbb R^n;\mathbb R)$ 对称，$B$ 正定等价于对应 $A \in \mathrm{M}_{n \times n}(\mathbb R)$ 的所有特征值都是正数，等价于 $A$ 的所有顺序主子式都是正数。

高等代数Ⅰ 课程笔记

综观

线性方程组的 Gauss–Jordan 消元法

集合

数域

环

序

等价关系

同余

多项式环

同态和同构

向量空间和线性映射

回到线性方程组

向量空间

矩阵空间

基和维数

线性映射

线性映射观矩阵

从矩阵的转置到对偶空间

核和像

矩阵的相抵

矩阵的共轭或相似

直和分解

分块矩阵运算

商空间

行列式

置换概论

有向体积

交错形式

行列式

特殊的行列式

分块行列式

Cramer 法则

特征多项式

迹

不变子空间

子式

重访环和多项式

对角化

特征值和特征向量

极小多项式

广义特征子空间

双线性形式

双线性形式

非退化双线性形式

二次型

配方法

实二次型的分类

内积空间

标准内积

内积空间

正交化

伴随映射

自伴映射的对角化

顺序主子式

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