高等代数Ⅰ 课程笔记

作者: xht37 分类: 笔记 发布时间: 2023-03-02 18:51

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授课教师:李文威
第一次学这些内容,难免有不严谨甚至错误之处,欢迎批评指正!
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综观

线性方程组的 Gauss–Jordan 消元法

  • 初等行变换:交换,数乘,加减。
  • 增广矩阵 $\to$ 行梯矩阵 $\to$ 简化行梯矩阵。
  • 行梯矩阵:零行在最下方,非零行主元的列指标随行指标的增大而严格增大。
  • 简化行梯矩阵:主元为 $1$,和主元同列的项均为 $0$ 的行梯矩阵。
  • 若行梯矩阵中存在 $0 = d(d \ne 0)$ 的情况,则原方程组无解,否则有解。
  • 若简化行梯矩阵中非零行数目和未知量数目相等,则原方程有唯一解,否则有无穷多组解。

集合

  • $\mathbb Z \subseteq \mathbb Q \subseteq \mathbb R \subseteq \mathbb C$。
  • $(s,t)$:${{s},{s,t}}$。
  • 积集 $S \times T$:${(s,t):s\in S, t \in T}$。
  • 映射 $f : S \rightarrow T$:${(s,f(s)) \in S \times T: s \in S}$。
  • $S$ 上的二元运算 $\star: S \times S \rightarrow S$,写作 $s_1 \star s_2$。

数域

  • 设 $\mathbb Q \subseteq K \subseteq \mathbb{C}$,称 $K$ 为一个数域,当:
    1. $0,1 \in K$。
    2. $\forall a, b \in K$,$a \pm b, ab \in K$,且对 $b \neq 0$,$b^{-1} \in K$。
  • Gauss–Jordan 消元法在数域上实现。

  • 称 $(R,+, \cdot, 0_R, 1_R)$ 或 $R$ 为,其中 $R$ 是集合,$0_R, 1_R \in R$,$+ : R \times R \rightarrow R$ 和 $\cdot: R \times R \rightarrow R$ 是二元运算,使得 $\forall x,y,z \in R$:
    1. 加法运算 $x + y$ 满足:
    • 交换律:$x+y=y+x$。
    • 结合律:$(x+y)+z=x+(y+z)$。
    • 么元:$x+0_R=x=0_R+x$。
    • 加法逆元:$\exist (-x) \in R$,$x+(-x)=0_R$。
    1. 乘法运算 $x \cdot y$(简写为 $x y$)满足:
    • 结合律:$(x y) z=x(y z)$。
    • 么元:$x \cdot 1_R=x=1_R \cdot x$。
    1. 乘法对加法满足:
    • 分配律:$(x+y) z=x z+y z$,$z(x+y)=z x+z y$。
  • 最平凡的环是零环,这是只有单个元素 $1 = 0$ 的环。
  • 如果 $R$ 的子集 $R_0$ 包含 $0_R, 1_R$,且对加法、乘法运算和加法取逆封闭,则 $R_0$ 也是环,称为 $R$ 的子环
  • 如果环 $R$ 的乘法也满足交换律 $xy = yx$,则称 $R$ 为交换环
  • 设 $x\in R$,若 $\exist x^{-1} \in R$ 使得 $x \cdot x^{-1}=1=x^{-1} \cdot x$,则称 $x$ 可逆,$x^{-1}$ 为 $x$ 的乘法逆元
  • 由可逆元构成的子集记为 $R^{\times}$,则 $1 \in R^{\times}$,且 $R^{\times}$ 对乘法运算和乘法取逆封闭。
  • 满足 $R^{\times} = R \setminus {0}$(非零元皆可逆)的非零环称为除环,交换除环称为
  • 域的子环如果也构成域,则称之为子域,数域即为 $\mathbb {C}$ 的子域。

  • $S$ 上的偏序关系 $\le$ 满足:
    1. $a \le a$。
    2. 若 $a \le b$,$b \le c$,则 $a \le c$。
    3. 若 $a \le b$,$b \le a$,则 $a = b$。
  • $S$ 上的全序关系 $\le$ 是一种特殊的偏序关系,满足 $\forall a, b \in S$,$a \le b$ 或 $b \le a$,即任意两个元素皆可比较大小。

等价关系

  • $S$ 上的等价关系 $\sim$ 满足:
    1. $a \sim a$。
    2. 若 $a \sim b$,$b \sim c$,则 $a \sim c$。
    3. 若 $a \sim b$,则 $b \sim a$。
  • 设非空子集 $C \subseteq S$,称 $C$ 为 $S$ 中的一个等价类,当:
    1. $\forall a,b \in C$,$a \sim b$。
    2. 若 $a \in C$,$b \in S$,$a \sim b$,则 $b \in C$,即 $C$ 对 $\sim$ 封闭。
  • 若 $C$ 是等价类且 $a \in C$,称 $a$ 是 $C$ 的一个代表元,$C$ 也可写作 $[a]$。
  • 商集 $S / \sim$:$S$ 中所有相对于 $\sim$ 的等价类。
  • 商映射 $q : S \to S/\sim$:映 $s \in S$ 为含 $s$ 的唯一等价类。

同余

  • 同余关系 $x \equiv y \pmod m$ 是 $\mathbb Z$ 上的等价关系。
  • 剩余系 $\mathbb Z / m\mathbb Z $:$\mathbb Z / (\equiv \mod m)$。
  • $\mathbb Z / 0\mathbb Z = \mathbb Z$,对 $m \ge 1$,$\mathbb Z / m \mathbb Z = {[i]_{i=0}^{m-1}}$。
  • $\mathbb Z / m\mathbb Z$ 是一个交换环
  • $(\mathbb Z / 0\mathbb Z)^\times = {1,-1}$,对 $m \ge 1$,$(\mathbb Z / m \mathbb Z)^\times = {[x] \in \mathbb Z / m \mathbb Z:\gcd(x,m) = 1}$。
  • $\mathbb Z / p\mathbb Z$ 是域,其中 $p$ 为素数。

多项式环

  • 设 $R$ 为非零环,定义多项式环 $R[x]$:${\sum_{i=0}^n a_ix^i :a_i \in R}$。
  • $R$ 为 $R[x]$ 的子环。
  • 若 $R$ 为交换环,则 $R[x]$ 亦然。

同态和同构

  • 设 $R,R^\prime$ 为环,称 $f:R \to R^\prime$ 为环同态,当 $\forall x,y \in R$:
    • $f(x+y) = f(x) + f(y)$。
    • $f(xy) = f(x)f(y)$。
    • $f(1_R) = 1_{R^\prime}$。
  • $f(R)$ 为 $R^\prime$ 的子环。
  • 若环同态 $f:R \to R^\prime$ 为双射,则称 $f$ 为环同构,$R$ 和 $R^\prime$ 同构,记为 $f: R \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R^{\prime}$,且有 $f^{-1} : R^\prime \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R$。

向量空间和线性映射

  • 选定域 $F$。

回到线性方程组

  • 考虑线性方程组 $\begin{cases}
    \sum_{i=1}^{n}a_{1i} x_i&=b_1 \
    & \vdots \
    \sum_{i=1}^{n}a_{mi} x_i&=b_m
    \end{cases}$。
  • $\forall i$,$b_i = 0$ 的线性方程组称为齐次线性方程组
  • 定义映射 $T : F^n \to F^m$,$(x_i){i=1}^n \mapsto (\sum{i=1}^na_{ji}x_i)_{j=1}^m$。
  • 解线性方程组相当于研究 $T^{-1}(b_j)_{j=1}^m$。
  • 在 $F^n$ 上定义:
    • 加法:$(x_i){i=1}^n+(x^\prime_i){i=1}^n=(x_i+x_i^{\prime})_{i=1}^n$。
    • 数乘:$t(x_i){i=1}^n=(tx_i){i=1}^n$。
  • $T(x + y) = T(x) + T(y)$,$T(tx) = tT(x)$。
  • 对于一个 $n$ 元齐次线性方程组,若主元有 $r$ 个,则有基础解系 $(v_i)_{i=1}^{n-r}(v_i \in F^n)$,对于 $v_i$,第 $i$ 个非主元为 $1$,其余非主元为 $0$,主元由非主元唯一确定。

向量空间

  • 称 $(V,+,\cdot,0_V)$ 或 $V$ 为向量空间,其中 $V$ 是集合,$0_V \in V$,$+ : V \times V \rightarrow V$ 和 $\cdot: F \times V \rightarrow V$ 是二元运算,使得 $\forall x,y,z \in V$,$\forall s,t \in F$:
    1. 加法运算 $x + y$ 满足:
    • 交换律:$x+y=y+x$。
    • 结合律:$(x+y)+z=x+(y+z)$。
    • 么元:$x+0_V=x=0_V+x$。
    • 加法逆元:$\exist (-x)\in R$,$x+(-x)=0_V$。
    1. 数乘运算 $t \cdot y$(简写为 $t y$)满足:
    • 结合律:$s(ty)=(st)y$。
    • 么元:$1 \cdot y = y$。
    1. 数乘对加法满足:
    • 分配律:$(s+t)y = sy + ty$,$t(x+y) = tx+ty$。
  • 最平凡的向量空间是 ${0}$。
  • 如果 $V$ 的子集 $V_0$ 包含 $0_V$,且对加法和数乘运算封闭,则 $V_0$ 也是向量空间,称为 $V$ 的子空间

矩阵空间

  • 矩阵乘法满足:
    • 结合律:$(AB)C = A(BC)$。
    • 分配律:$A(B+C) = AB+AC$,$(A+B)C = AC+BC$。
    • 线性:$t(AB) = A(tB) = (tA)B$。
  • $\mathrm M_{n\times n}(F)$ 构成环,$n \ge 2$ 时非交换。
  • 线性方程组实际上是矩阵乘法 $\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\vdots & \ddots & \vdots\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\vdots\x_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_{1}\\vdots\b_{m}\end{pmatrix}$。

基和维数

  • 设 $V$ 是向量空间,$S \subseteq V$。
    • 称形如 $\sum_{s \in S} a_ss$ 的向量为 $S$ 中元素的线性组合,记为 $\lang S \rang$,则 $\lang S \rang$ 为 $V$ 的子空间。若 $\lang S \rang = V$,则称 $S$ 为 $V$ 的生成系
    • 称形如 $\sum_{s \in S} a_ss = 0$ 的等式为 $S$ 中的线性关系。若 $a_s$ 不全为 $0$,则称此关系非平凡。若 $S$ 中存在非平凡的线性关系,则称 $S$ 线性相关,否则称 $S$ 线性无关
    • 若 $S$ 为 $V$ 线性无关的生成系,则称 $S$ 为 $V$ 的。$\forall v \in V$,$\exist!(t_s){s \in S}$,$v = \sum{s\in S} t_ss$。
  • 如下三个命题等价:
    1. $S$ 是 $V$ 的基。
    2. $S$ 是 $V$ 的极小生成系。
    3. $S$ 是 $V$ 的极大线性无关子集。
  • 设 $V$ 是有限维向量空间,则 $V$ 有基,$V$ 的所有基都有相同的元素个数,称为 $V$ 的维数,记为 $\dim V$。
  • $F^n$ 的标准基 $(e_i)_i$,对于 $e_i$,第 $i$ 个分量为 $1$,其余分量为 $0$。
  • $\mathrm M_{m \times n}(F)$ 的标准基 $(E_{ij}){i,j}$,对于 $E{ij}$,第 $(i,j)$ 个矩阵元为 $1$,其余矩阵元为 $0$。

线性映射

  • 设 $V,W$ 是向量空间,称映射 $T:V\to W$ 为线性映射,满足:
    • $T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)$。
    • $T(tv) = tT(v)$。
  • 若 $T : U \to V$ 和 $S : V \to W$ 都是线性映射, 则其合成 $ST : U \to W$ 也是线性映射。
  • 若线性映射 $T:V\to W$ 为双射,则称 $T$ 可逆,$V$ 和 $W$ 同构,记为 $T: V \stackrel{\sim}{\longrightarrow} W$,且有 $T^{-1} : W \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V$。
  • 设 $V$ 是向量空间,$n = \dim V$,选定一组有序基 $(v_i){i=1}^n$,有 ${(v_i){i=1}^n} \stackrel{1:1}{\longleftrightarrow} {\varphi : F^n \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V}$。
  • 所有 $V \to W$ 的线性映射所构成的集合 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 是向量空间。
  • 合成 $\operatorname{Hom}(V,W) \times \operatorname{Hom}(U,V) \to \operatorname{Hom}(U,W)$,$(S,T) \mapsto ST$ 满足结合律、分配律和线性。
  • 自同态 $\operatorname{End}(V) = \operatorname{Hom}(V,V)$ 构成环,$V = {0}$ 时为零环。

线性映射观矩阵

  • 设 $V,W$ 为向量空间,分别选定有序基 $(v_j){j=1}^n$ 和 $(w_i){i=1}^m$,则有 $\mathcal M : \operatorname{Hom}(V,W) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \mathrm M_{m\times n}(F)$,$T \mapsto (a_{i,j}){1\le i \le m, 1 \le j \le n}$,其中 $Tv_j = \sum{i=1}^m a_{ij}w_i$。
  • 设 $U,V,W$ 为向量空间,$S \in \operatorname{Hom}(V, W)$,$T \in \operatorname{Hom}(U, V)$,则有 $\mathcal M(ST) = \mathcal M(S)\mathcal M(T)$,左式是映射合成,右式是矩阵乘法。
  • 可逆矩阵是环 $\mathrm M_{n \times n}(F)$ 的可逆元。
  • 考虑 $A \in \mathrm M_{m\times n}(F)$,三种初等行变换分别对应一个 $m \times m$ 矩阵的左乘。
    • 将 $A$ 的第 $i$ 行乘 $c$ 后加到第 $k$ 行($i \ne k$):$\mathcal A(i,k,c) = 1_{m \times m} + cE_{ki}$。
    • 交换 $A$ 的第 $i$ 行和第 $k$ 行($i \ne k$):$\mathcal B(i,k) = \sum_{j \ne i,k} E_{jj} + E_{ik} + E_{ki}$。
    • 将 $A$ 的第 $i$ 行乘 $c$($c \ne 0$):$\mathcal C(i,c) = \sum_{j \ne i} E_{jj} + cE_{ii}$。
  • $\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ 均为可逆矩阵,它们的逆也对应于相同类型的初等行变换。
    • $\mathcal A(i,k,c)^{-1} = \mathcal A(i,k,-c)$。
    • $\mathcal B(i,k)^{-1} = \mathcal B(i,k)$。
    • $\mathcal C(i,c)^{-1} = \mathcal C(i,c^{-1})$。
  • $\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ 统称为初等矩阵

从矩阵的转置到对偶空间

  • 设 $A = (a_{ij}){i,j}$,$A$ 的转置 ${}^tA = (a{ji})_{i,j}$。
  • ${ }^t(A+B) ={ }^t A+{ }^t B$,${ }^t(s A) =s \cdot{ }^t A$,${}^t({ }^t A) =A$。

  • ${ }^t(A B)={ }^t B^t A$。

  • $\mathrm{M}{m \times n}(F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \mathrm{M}{n \times m}(F)$。

  • 设 $A \in \mathrm{M}_{m \times m}(F)$,则 $A$ 可逆等价于 ${ }^t A$ 可逆,且 $({ }^t A)^{-1}={ }^t(A^{-1})$。

  • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。

  • 设 $V$ 为向量空间,其对偶空间 $V^\vee = \operatorname{Hom}(V, F)$。

  • 设 $T:V \to W$ 是线性映射,$T$ 的转置 ${}^tT:W^\vee \to V^\vee$,$\lambda \mapsto \lambda T$。

  • 当 $\dim V < \infty$ 时,$\dim V^\vee = \dim V$。

  • 设 $V$ 有基 $(v_i){i=1}^n$,则其对偶基 $(\breve v_i){i=1}^n$ 构成 $V^\vee$ 的基,满足 $\check{v}i(\sum{j=1}^n x_j v_j)=x_i $。

  • ${}^t\mathcal M(T) = \mathcal M({}^tT)$。

核和像

  • 考虑线性映射 $T:V \to W$。
  • $T$ 的 $\ker T = {v \in V : Tv = 0} = T^{-1}(0)$,是 $V$ 的子空间。
  • $T$ 的 $\operatorname{im} T = {w \in W : Tv = w(v \in V)}$,是 $W$ 的子空间。
  • $T$ 是单射等价于 $\ker T = {0}$,$T$ 是满射等价于 $\operatorname{im}T = W$。
  • $\operatorname{dim} V=\operatorname{dim}\ker T+\operatorname{dim}\operatorname{im} T$。
  • 若 $\dim V = \dim W$,则 $T$ 同构、$T$ 单、$T$ 满三者等价。
  • $\operatorname{rk}T = \operatorname{dim}\operatorname{im}T$。
  • 考虑线性映射 $U \stackrel{T}{\longrightarrow} V \stackrel{S}{\longrightarrow} W$,有以下性质:
    • $\operatorname{rk}(S T) = \operatorname{rk}(S|_{\operatorname{im}T}:\operatorname{im}T \to W) = \operatorname{rk}T – \dim(\ker S \cap \operatorname{im}T)$。
    • $\operatorname{rk}S+\operatorname{rk}T – \dim V \le \operatorname{rk}(S T) \le \min{\operatorname{rk}S,\operatorname{rk}T }$。
    • 若 $T$ 满,则 $\operatorname{rk}(ST)=\operatorname{rk}S$。
    • 若 $S$ 单,则 $\operatorname{rk}(ST)=\operatorname{rk}T $。
  • $\operatorname{rk}(RST) \ge \operatorname{rk}(RS) + \operatorname{rk}(ST) − \operatorname{rk}S$。
  • 矩阵 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$ 的秩 $\operatorname{rk}A$ 由其对应线性映射 $F^n \to F^m$ 定义,等于 $A$ 列向量生成的子空间的维数(列秩),等于 $A$ 行向量生成的子空间的维数(行秩),等于 $A$ 的主元个数。
  • 对于矩阵 $A \in \mathrm M_{m \times m}(F)$,以下性质等价:
    • $A$ 可逆、左可逆、右可逆。
    • $\ker A = 0$。
    • $\operatorname{rk}A = m$。
    • $A$ 可以表为初等矩阵的乘积。
  • 矩阵求逆:$(A|1_{m \times m}) \to (1_{m \times m}|A^{-1})$。

矩阵的相抵

  • 称矩阵 $A,B \in \mathrm M_{m\times n}(F)$ 相抵,若存在可逆矩阵 $Q \in \mathrm M_{m \times m}(F)$ 和 $P \in \mathrm M_{n \times n}(F)$,使得 $B = QAP$。
  • 相抵等价于等秩。

矩阵的共轭或相似

  • 设 $\dim V = n$,$\dim W = m$,$\mathbf v,\mathbf v^\prime$ 是 $V$ 的有序基,$\mathbf w,\mathbf w^\prime$ 是 $W$ 的有序基。
  • 记依赖于基 $\mathbf v,\mathbf w$ 的 $\mathcal M : \operatorname{Hom}(V,W) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \mathrm M_{m\times n}(F)$ 为 $\mathcal M_{\mathbf v}^{\mathbf w}$。
  • 定义 $P_{\mathbf v^\prime}^{\mathbf v}:F^n \to F^n$,$(x^\prime_i){i=1}^n \mapsto (x_i){i=1}^n$,其中 $(x_i){i=1}^n$ 由 $\sum{i=1}^n x_i v_i=\sum_{i=1}^n x_i^{\prime} v_i^{\prime}$ 唯一确定。换言之,$P_{\mathbf v^\prime}^{\mathbf v}$ 实现了从 $\mathbf v^\prime$ 到 $\mathbf v$ 的坐标转换,其对应矩阵称为转换矩阵
  • $(P_{\mathbf v^\prime}^{\mathbf v})^{-1} = P_{\mathbf v}^{\mathbf v^\prime}$。
  • 对 $T \in \operatorname{Hom}(V,W)$,有 $\mathcal{M}{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{w}^{\prime}}(T)= P{\mathbf{w}}^{\mathbf{w}^{\prime}} \mathcal{M}{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(T) P{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{v}}$。
  • 对 $T \in \operatorname{End}(V)$,有 $\mathcal{M}{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{v}^{\prime}}(T)=P{\mathbf{v}}^{\mathbf{v}^{\prime}} \mathcal{M}{\mathbf{v}}^{\mathbf{v}}(T) P{\mathbf{v}^{\prime}}^{\mathbf{v}}$。
  • 称矩阵 $A,B \in \mathrm M_{n \times n}(F)$ 共轭相似,若存在可逆矩阵 $P \in \mathrm M_{n \times n}(F)$,使得 $B = P^{-1}AP$。
  • 共轭是 $\mathrm M_{n \times n}(F)$ 上的等价关系。

直和分解

  • 设 $(V_i){i \in I}$ 是 $V$ 的一族子空间,若对每个 $i \in I$ 都有 $V_i \cap \sum{j \neq i} V_j={0}$,则将 $\sum_{i \in I} V_i$ 记为直和 $\bigoplus_{i \in I} V_i$。
  • 设 $T:V \to W$ 为线性映射,$V = \bigoplus_{i=1}^n V_i$,$W = \bigoplus_{i=1}^m W_i$,有同构 $\operatorname{Hom}(V,W) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \bigoplus_{i,j} \operatorname{Hom}(V_j,W_i)$。
  • 若 $U=\bigoplus_{k \in K} U_k$,$V=\bigoplus_{j \in J} V_j$,$W=\bigoplus_{i \in I} W_i$,考虑线性映射 $U \stackrel{T}{\longrightarrow} V \stackrel{S}{\longrightarrow} W$,有 $(ST){ik} = \sum{j \in J}S_{ij}T_{jk}$。

分块矩阵运算

  • 设 $T \in \operatorname{Hom}(V,W)$,$T_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j,W_i)$,$\mathcal M(T)$ 可由 $mn$ 个 $\mathcal M(T_{ij})$ 构成分块矩阵
  • 考虑 $T \in \operatorname{End}(V)$,给定 $V = \bigoplus_{i=1}^n V_i$,将 $T$ 表达为 $(T_{ij}){1\le i,j\le n}$,将 $\mathcal M(T) = A$ 表达为 $(A{ij})_{1\le i,j\le n}$。
    • 若 $A_{ij} = 0(i \ne j)$,则称 $A$ 是对角的,记作 $A = \operatorname{diag}(T_{ii})_{i=1}^n$,等价于 $T(V_i) \subseteq V_i$。
    • 若 $A_{ij}=0(i>j)$,则称 $A$ 是上三角的,等价于 $T(V_i) \subseteq \bigoplus_{j \le i} V_j$。
    • 若 $A_{ij}=0(i<j)$,则称 $A$ 是下三角的,等价于 $T(V_i) \subseteq \bigoplus_{j \ge i} V_j$。
    • 对角/上三角/下三角三者性质相似,只需讨论上三角的情况。
  • 若 $A,B$ 是上三角的,则 $A+B$ 和 $AB$ 也是上三角的,且其对角分块分别为 $A_{ii}+B_{ii}$ 和 $A_{ii}B_{ii}$。
  • 若 $A$ 是上三角的,则 $A$ 可逆等价于所有 $A_{ii}$ 可逆,此时 $A^{-1}$ 也是上三角的,且其对角分块为 $A_{ii}^{-1}$。

商空间

  • 设 $U$ 是 $V$ 的子空间,若 $v,v^\prime \in V$ 满足 $v – v^\prime \in U$,则记为 $v \sim_U v^\prime$,有 $\sim_U$ 为等价关系。
  • 称 $v + U = {v+u:u\in U}$ 为 $U$ 的陪集,则陪集为等价类,$v$ 为代表元。
  • 定义商空间 $V/U = V/\sim_U$ 为 $U$ 的所有陪集构成的向量空间,有商映射 $q : V \to V/U$,$v \mapsto v + U$。
  • $\dim V = \dim U + \dim V/U$。
  • 设 $U$ 是 $V$ 的子空间,$T:V \to W$ 是线性映射。
    • 若 $U \subseteq \ker T$,则 $\exist! \bar T: V/U \to W$,$v + U \mapsto Tv$ 使得 $V \stackrel{q}{\longrightarrow} V/U \stackrel{\bar T}{\longrightarrow} W$。
    • 若 $U = \ker T$,$W = \operatorname{im}T$,则 $\bar T$ 是同构。
  • 设 $T:V \to W$ 是线性映射,余核 $\operatorname{coker}T = W / \operatorname{im}T$。

行列式

置换概论

  • 集合 $X$ 上的置换:双射 $\sigma: x \to x$。
  • $\mathfrak{S}_X$ 表示 $X$ 上的所有置换;若 $X = {1,\cdots, n}$,则记 $\mathfrak{S}_X$ 为 $\mathfrak{S}_n$,$|\mathfrak{S}_n| = n!$。
  • 置换可以合成、取逆。
  • 对换 $(i\ j)\in \mathfrak{S}_n(i \ne j)$:$k \mapsto \begin{cases}j & k = i\i & k = j \ k & k \ne i,j\end{cases}$。
  • 单对换 $s_i = (i\ i+1)(1 \le i < n)$。
  • 设 $\sigma \in \mathfrak{S}n$,逆序对 $\operatorname{Inv}\sigma={(i, j):\sigma(i)>\sigma(j)}$,逆序数 $\ell(\sigma)=|\operatorname{Inv}_\sigma|$。
  • $\forall \sigma \in \mathfrak{S}n$,$\exist \tau_1,\cdots,\tau{\ell(\sigma)} \in {s_i:1\le i<n }$,$\sigma = \tau_1\cdots\tau_{\ell(\sigma)}$。
  • $\exist ! \operatorname{sgn} : \mathfrak{S}_n \to {\pm 1}$,$\sigma \mapsto (-1)^{\ell(\sigma)}$,满足 $\operatorname{sgn}(\sigma_1\sigma_2)=\operatorname{sgn}(\sigma_1) \operatorname{sgn}(\sigma_2)$ 和 $\operatorname{sgn}(s_i) = -1$。
  • 若 $\operatorname{sgn}(\sigma) = 1(-1)$,则称 $\sigma$ 为偶置换奇置换)。

有向体积

  • 对 $(u_i){i=1}^n \in V^n$,其张成 $\diamond(u_i){i=1}^n = {\sum_{i=1}^n t_i u_i: t_i \in[0,1]}$。
  • 有向体积 $D(u_i){i=1}^n= \begin{cases}0 & u_i \text { 线性相关} \ \diamond(u_i){i=1}^n \text { 的体积} & u_i \text { 线性无关且正向} \ -(\diamond(u_i)_{i=1}^n \text { 的体积}) & u_i \text { 线性无关且负向}\end{cases}$。
  • $D$ 具有以下性质:
    • 退化:若存在 $u_i=u_j(i\ne j)$,则 $D(u_i)_{i=1}^n = 0$。
    • 数乘:$D(\cdots, t u_i, \cdots)=t D(\cdots, u_i, \cdots)$。
    • 加法:$D(\cdots, u_i+u, \cdots)=D(\cdots, u_i, \cdots)+D(\cdots, u, \cdots)$。

交错形式

  • 记 $\mathcal D_{V,m}$ 表示所有满足退化、数乘、加法的 $m$ 元交错形式 $D:V^m \to F$。
  • $\mathcal D_{V,m}$ 构成向量空间。若 $m > \dim V$,则 $\mathcal D_{V,m} = {0}$。
  • 令 $\vec v = (v_i){i=1}^m \in V^m$,$\sigma \in \mathfrak{S}_m$,$D \in \mathcal D{V,m}$,则 $\sigma \vec v = (v_{\sigma^{-1}(i)})_{i=1}^m$,$D(\sigma \vec v) = \operatorname{sgn}(\sigma)D(\vec v)$。
  • $D(\cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots)=D(\cdots, v_i+c v_j, \cdots, v_j, \cdots)$。
  • 若 $v_i$ 线性相关,则 $D(v_i)_{i=1}^m = 0$。
  • 记 $\mathcal D_V = \mathcal D_{V,\dim V}$。若 $\dim V = 0$,$\mathcal D_V = F$。
  • 取 $n$ 维向量空间 $V$ 的有序基 $\mathbf e = (e_i){i=1}^n$,将 $(v_i){i=1}^n \in V^n$ 按此展开,即 $v_i=\sum_{j=1}^n a_{i, j} e_j$,设 $D \in \mathcal D_V$,则 $D(v_i){i=1}^n = \sum{\sigma \in \mathfrak{S}n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} D(\mathbf e)$。
  • $\dim \mathcal D_V = 1$,且 $\exist! D_{\mathbf e} \in \mathcal D_V$,$D_{\mathbf e}(v_i){i=1}^n = \sum{\sigma \in \mathfrak{S}n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$,满足 $D_{\mathbf e}(\mathbf e) = 1$,此时称 $D_{\mathbf e}(v_i){i=1}^n$ 为 $(v_i){i=1}^n$ 在基 $\mathbf e$ 下的行列式

行列式

  • 设 $V$ 是 $n$ 维向量空间,对 $T \in \operatorname{End}(V)$,定义行列式 $\det T$,使得 $\forall D \in \mathcal D_V$,$(v_i){i=1}^n \in V$,$D(Tv_i){i=1}^n = \det T \cdot D(v_i)_{i=1}^n$。
  • 设 $S,T \in \operatorname{End}(V)$,则 $\det (ST) = \det S \cdot \det T$。
  • 若 $T$ 可逆,$\det(T^{-1}) = (\det T)^{-1}$。
  • 设 $T \in \operatorname{End}(V)$,$S:V \stackrel{\sim}{\longrightarrow} W$,则 $STS^{-1} \in \operatorname{End}(W)$ 满足 $\det(STS^{-1}) = \det T$。
  • $D_{\mathbf e}(Te_i){i=1}^n = \det T \cdot D{\mathbf e}(\mathbf e) = \det T$。
  • 矩阵 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 的行列式 $\det A = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$。
  • $\det A = \det ({}^tA)$。
  • $\det (tA) = t^n\det A$。
  • $\begin{vmatrix}\vdots & & \vdots \a_{i 1}+a^\prime_{i 1} & \cdots & a_{i n}+a^\prime_{in} \\vdots & & \vdots\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vdots & & \vdots \a_{i 1} & \cdots & a_{i n} \\vdots & & \vdots\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\vdots & & \vdots \a^\prime_{i 1} & \cdots & a^\prime_{i n} \\vdots & & \vdots\end{vmatrix}$,$\begin{vmatrix}
    \vdots & & \vdots \
    c a_{i 1} & \cdots & c a_{i n} \
    \vdots & & \vdots
    \end{vmatrix}=c\begin{vmatrix}
    \vdots & & \vdots \
    a_{i 1} & \cdots & a_{i n} \
    \vdots & & \vdots
    \end{vmatrix}$,列同理。
  • 将从 $n \times n$ 矩阵 $A$ 中删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后余下的 $(n – 1) \times (n – 1)$ 矩阵的行列式称为余子式,记为 $M_{ij}$。
  • $\forall i$,$\sum_{k=1}^n(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik} = \det A$,列同理。
  • $\forall i,j$,若 $i \ne j$,则 $\sum_{k=1}^n(-1)^{i+k}a_{jk}M_{ik} = 0$,列同理。

特殊的行列式

  • 对 $\sigma \in \mathfrak{S}n$,置换矩阵 $P{\sigma} = ([i=\sigma(j)]){ij}$,有 $\det P{\sigma} = \operatorname{sgn}(\sigma)$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是上三角矩阵,则 $\det A = \prod_{i=1}^n a_{ii}$。
  • 通过 Gauss–Jordan 消元法可将一般的 $n \times n$ 矩阵化约到上三角矩阵从而计算行列式。
    • $\mathcal A(i,k,c)$ 不改变行列式。
    • $\mathcal B(i,k)$ 将行列式取反。
    • $\mathcal C(i,c)$ 将行列式乘 $c$。
  • $\begin{vmatrix}
    1 & \cdots & 1 \
    x_1 & \cdots & x_n \
    \vdots & \ddots & \vdots \
    x_1^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
    \end{vmatrix}=\prod_{1 \le j<i \le n}(x_i-x_j)$。

分块行列式

  • 设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是分块上三角矩阵,则 $\det A = \prod_i \det A_{ii}$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$,$B \in \mathrm M_{n \times m}(F)$,则 $\det\begin{pmatrix}
    1_{n \times n} & B \
    A & 1_{m \times m}
    \end{pmatrix}=\det(1_{m \times m}-A B)$,且有 $\det(1_{m \times m}-A B)=\det(1_{n \times n}-B A)$。

Cramer 法则

  • 经典伴随矩阵 $A^{\vee} = ((-1)^{j+i}M_{ji})_{ij}$。
  • $AA^\vee = A^\vee A= \det A \cdot 1_{n\times n}$。
  • 对于 $A = (a_{ij}){i,j} \in \mathrm M{n \times n}(F)$,$A$ 可逆等价于 $\det A \ne 0$,此时有 $A^{-1} = (\det A)^{-1} A^\vee$。
  • 考虑线性方程组 $\begin{cases}
    \sum_{i=1}^{n}a_{1i} x_i&=b_1 \
    & \vdots \
    \sum_{i=1}^{n}a_{ni} x_i&=b_n
    \end{cases}$ 的系数矩阵 $A$。

    • 若方程组齐次,则解集为 $\ker A$。

    • 若 $\det A = 0$,则方程组或者无解,或者解集形如 $(x_i){i=1}^n + \ker A$,其中 $(x_i){i=1}^n$ 是任意一组解。

    • 若 $\det A \ne 0$,则方程组有唯一解 $(x_i){i=1}^n$,其中 $x_i = \begin{vmatrix}
      a
      {11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1 n} \
      \vdots & & \vdots & & \vdots \
      a_{n 1} & \cdots & b_n & \cdots & a_{n n}
      \end{vmatrix} / \begin{vmatrix}
      a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1 n} \
      \vdots & & \vdots & & \vdots \
      a_{n 1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{n n}
      \end{vmatrix}$。

特征多项式

  • 选定多项式环 $F[x]$ 和有理函数域 $F(x) = {\frac{f}{g}: f,g \in F[x], g \ne 0}$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{n \times n}(F)$ 可逆,则存在非零多项式 $f \in F[x]$,使得 $A^{-1} = f(A)$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$,$A$ 的特征多项式 $\operatorname{Char}A(x)=\det (x \cdot 1{n \times n}-A) = x^n+c_{n-1} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x+ c_0$。
  • $c_0 = (-1)^n \det A$。
  • $\operatorname{Char}A = \operatorname{Char}{{}^tA}$,$\operatorname{Char}{AB} = \operatorname{Char}{BA}$,$\operatorname{Char}_{P^{-1} A P}=\operatorname{Char}_A$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$,$B \in \mathrm M_{n \times m}(F)$,则 $x^n \operatorname{Char}{A B}=x^m \operatorname{Char}{B A}$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是分块上三角矩阵,则 $\operatorname{Char}A = \prod_i \operatorname{Char}{A_{ii}}$。
  • 友矩阵 $C=\begin{pmatrix}
    0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \
    1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \
    0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \
    \vdots & & \ddots & & \vdots \
    0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1}
    \end{pmatrix}$,$\operatorname{Char}C(x) = x^n+c{n-1} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x+ c_0$。
  • $(-1)^{n-1} A^{\vee}=c_1 \cdot 1_{n \times n}+\cdots+c_{n-1} A^{n-2}+A^{n-1}$。
  • $(P^{-1} A P)^{\vee}=P^{-1} A^{\vee} P$。
  • $\operatorname{Char}A(A) = 0{n \times n}$。

  • $A$ 的 $\operatorname{Tr}(A) = -c_{n-1} = \sum_{i=1}^n a_{ii}$。
  • $\operatorname{Tr}(A+B)=\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(B)$,$\operatorname{Tr}(t A)=t \operatorname{Tr}(A)$。
  • $\operatorname{Tr}(A) = \operatorname{Tr}({}^tA)$,$\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$,$\operatorname{Tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{Tr}(A)$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{n\times n}(F)$ 是分块矩阵,则 $\operatorname{Tr}(A) = \sum_i \operatorname{Tr}(A_{ii})$。

不变子空间

  • 设 $T \in \operatorname{End}(V)$,如果子空间 $U \subseteq V$ 满足 $T(U) \subseteq U$,则称 $U$ 为 $V$ 的 $T$-不变子空间

子式

  • 对于非空集合 $I = {i_1,\cdots,i_r:i_1<\cdots<i_r}$ 和 $J = {j_1,\cdots,j_s:j_1<\cdots<j_s}$,矩阵 $A \in \mathrm M_{m\times n}(F)$ 的 $(I,J)$ 子矩阵 $A\left(\begin{array}{l}
    I \
    J
    \end{array}\right) =A\left(\begin{array}{l}
    i_1 \cdots i_r \
    j_1 \cdots j_s
    \end{array}\right) =(a_{i_p, j_q}){p,q} \in \mathrm M{r \times s}(F)$。
  • 若 $|I| = |J|$,则称 $\det A\left(\begin{array}{l}I\J\end{array}\right)$ 为 $(I,J)$ 确定的子式,称 $\det A\left(\begin{array}{l}I\I\end{array}\right)$ 为 $I$ 确定的主子式
  • 设 $C \in \mathrm{M}{n \times n}(F)$,$1 \leq k \leq n$,则 $-C$ 的特征多项式 $\det(x \cdot 1{n \times n}+C) \in F[x]$ 中 $x^{n-k}$ 项的系数等于 $\sum_{|I|=k} \det C\left(\begin{array}{l}I\I\end{array}\right)$。
  • 设 $A \in \mathrm M_{m \times n}(F)$,$B \in \mathrm M_{n \times m}(F)$:
    • 若 $m > n$,则 $\det (AB) = 0$。
    • 若 $m \le n$,则 $\det(A B)=\sum_{|I|=m} \det A\left(\begin{array}{c}
      1 \cdots m \
      I
      \end{array}\right) \det B\left(\begin{array}{c}
      I \
      1 \cdots m
      \end{array}\right)$。

重访环和多项式

  • 称 $I \subseteq F[x]$ 是 $F[x]$ 的理想,满足:
    • $0 \in I$。
    • 若 $f,g \in I$,则 $f+g \in I$。
    • 若 $f \in I$,$h \in F[x]$,则 $fh \in I$。
  • 对于 $F[x]$ 的理想 $I$,存在唯一的首一多项式 $f$ 满足 $I = \lang f \rang = {fh:h\in F[x]}$。
  • 对于 $f \in F[x] – {0}$,存在唯一分解 $f = \prod_{i=1}^k(x – \alpha_i)^{m_i}g$,其中 $\alpha_i$ 是 $f$ 的,$m_i$ 是 $\alpha_i$ 的重数,$g$ 在 $F$ 上无根。
  • 若 $m_i = 1$,则称 $\alpha_i$ 为单根;若 $m_i \ge 2$,则称 $\alpha_i$ 为重根,当且仅当 $f(\alpha_i) = f^\prime(\alpha_i) = 0$。
  • 称 $F$ 的特征 $\operatorname{Char}_F = p > 0$,满足 $p \cdot 1_F = 0_F$,此时 $p$ 必须是质数;若不存在这样的 $p$,则 $\operatorname{Char}_F = 0$。
  • 称 $F$ 为代数闭域,满足 $\forall f \in F[x]$,$f$ 要么为常量,要么有根。

对角化

  • 选定 $T \in \operatorname{End}(V)$。

特征值和特征向量

  • 若 $v \in V – {0}$ 满足 $Tv = \lambda v$,则称 $v$ 是 $T$ 的一个以 $\lambda$ 为特征值特征向量
  • $\lambda$ 特征子空间 $V_{\lambda} = {v \in V:Tv = \lambda v} = \ker (\lambda \cdot \operatorname{id}_V – T)$。
  • $\lambda$ 是 $T$ 的特征值等价于 $\operatorname{Char}_T(\lambda) = 0$,故 $T$ 最多有 $\dim V$ 个特征值。
  • 设 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m \in F$ 且两两相异,$v_i \in V_{\lambda_i}$ 且 $\sum_{i=1}^m v_i = 0$,则 $v_1 = \cdots = v_m = 0$。
  • 若存在 $V$ 的一组基 $v_1,\cdots,v_n$ 使得每个 $v_i$ 都是 $T$ 的特征向量,则称 $T$ 可对角化
  • 设 $A \in M_{n \times n}(F)$,若 $\exist P \in M_{n\times n}(F)$,$P^{-1}AP$ 是对角矩阵,则称 $A$ 可对角化
  • 设 $n = \dim V$,若 $T$ 可对角化,则 $\operatorname{Char}T(x)=\prod{i=1}^n(x-\lambda_i)$,$\dim V_\lambda=|{\lambda_i=\lambda}|$。
  • $T$ 可对角化等价于 $\sum_{\lambda} \dim V_\lambda = \dim V$。
  • 若 $T$ 有 $\dim V$ 个相异的特征值,则 $T$ 可对角化。

极小多项式

  • 对 $h \in F[X]$,有 $T$-不变子空间 $V[h] = \ker(h(T)) = {v \in V : h(T)v = 0}$。
  • 设 $f \in F[X]$ 分解为 $f=\prod_{i=1}^k f_i$,其中 $f_i \in F[X]$ 两两互素。若 $T$ 满足 $f(T)=0$,则有直和分解 $V=V[f]=\bigoplus_{i=1}^k V[f_i]$。
  • 有 $F[x]$ 的理想 $I_T = {h \in F[x]:h(T) = 0}$,故存在唯一的首一多项式 $m_T$ 使得 $I_T = \lang m_T \rang$,称 $m_T$ 是 $T$ 的极小多项式
  • 由 Cayley-Hamilton 定理可知 $m_T | \operatorname{Char}_T$。
  • 则 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值等价于 $m_T(\lambda) = 0$,故 $m_T$ 和 $\operatorname{Char}_T$ 有相同的根集。
  • 设有直和分解 $V=\bigoplus_{i=1}^k V_i$ 使得每个 $V_i$ 都是 $T$-不变子空间,记 $T_i=T|{V_i}$,则 $m_T$ 是 $m{T_1}, \ldots, m_{T_k}$ 的最小公倍式。
  • $T$ 可对角化等价于 $m_T = \prod_{i=1}^m (x – \lambda_i)$,其中 $\lambda_i$ 两两相异构成 $T$ 的特征值。

广义特征子空间

  • 记 $V_{[\lambda],n} = V[(x – \lambda)^n]$,有 $V_{[\lambda],0} = {0}$,$V_{[\lambda],1} = V_\lambda$,$V_{[\lambda],n} \subseteq V_{[\lambda],n+1}$。
  • 广义特征子空间 $V_{[\lambda]} = \bigcup_{n \ge 0} V_{[\lambda],n}$。
  • $V_{[\lambda]} \ne {0}$ 等价于 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值。
  • 设 $\operatorname{Char}T=\prod{i=1}^m(x-\lambda_i)^{a_i}$,$m_T=\prod_{i=1}^m(x-\lambda_i)^{b_i}$,有 $1 \le b_i \le a_i$,$\sum_{i=1}^m a_i = n$。
  • $V_{[\lambda_i]} = V_{[\lambda_i],b_i} = V[(x-\lambda_i)^{b_i}] = V_{[\lambda_i],\dim V}$。
  • $V=\bigoplus_{i=1}^m V[(x-\lambda_i)^{b_i}]=\bigoplus_{i=1}^m V_{[\lambda_i]}$。
  • 记 $T_i=T|{V{[\lambda_i]}}$,则 $m_{T_i} | (x-\lambda_i)^{b_i}$,$\operatorname{Char}{T_i}=(x-\lambda_i)^{a_i}$,$\dim V{[\lambda_i]} = a_i$。
  • 对 $\lambda$,其几何重数为 $\dim V_\lambda$,其代数重数为 $\dim V_{[\lambda]}$,$\dim V_{[\lambda]} \ge \dim V_{\lambda}$,取等时 $V_{[\lambda]} = V_\lambda$。
  • $T$ 可对角化等价于每个特征值的代数重数皆等于几何重数。

双线性形式

双线性形式

  • 称 $B : V_1 \times V_2 \to W$ 是双线性映射,满足 $B(\cdot,V_2),B(V_1,\cdot)$ 都是线性映射。
  • 所有 $V_1 \times V_2 \to W$ 的双线性映射所构成的集合 $\operatorname{Bil}(V_1,V_2;W)$ 是向量空间。
  • 当 $W = F$ 时,双线性映射也称为双线性形式,此时也称为 $V_1$ 和 $V_2$ 的配对;进一步地,当 $V_1 = V_2 = V$ 时,称为 $V$ 上的双线性形式。
  • $V^\vee$ 和 $V$ 的典范配对 $\lang \cdot,\cdot\rang = \lang \cdot,\cdot\rang_V : V^\vee \times V \to F$,$(\lambda,v) \mapsto \lang \lambda,v\rang = \lambda(v)$。
  • $\operatorname{Bil}(V,W;F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(V,W^\vee)$,$[B(v,w) = \lang \psi(v),w \rang] \mapsto [\psi: v \mapsto B(v,\cdot)]$;$\operatorname{Bil}(V,W;F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(W,V^\vee)$,$[B(v,w) = \lang \varphi (w),v \rang] \mapsto [\varphi : w \mapsto B(\cdot,w)]$。
  • $\mathrm{M}{m \times n}(F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Bil}(F^m, F^n ; F)$,$A \mapsto [B(v,w) = {}^tvAw]$,$B(\sum{i=1}^m x_i e_i, \sum_{j=1}^n y_j e_j)=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i y_j$。
  • 设 $B_1 \in \operatorname{Bil}(V_1, V_1^{\prime}; F)$ 和 $B_2 \in \operatorname{Bil}(V_2, V_2^{\prime}; F)$。$B_1$ 和 $B_2$ 的直和 $B:(V_1 \oplus V_2) \times(V_1^{\prime} \oplus V_2^{\prime}) \to F$,$((v_1, v_2),(v_1^{\prime}, v_2^{\prime})) \mapsto B_1(v_1, v_1^{\prime})+B_2(v_2, v_2^{\prime})$ 也是双线性形式。
  • 设 $A \in \mathrm{M}_{n \times n}(F)$,若 ${}^tA = A$,则称 $A$ 对称,若 ${}^tA = -A$,则称 $A$ 反对称
  • 设 $B \in \operatorname{Bil}(V,V;F)$,若 $B(v_1,v_2) = B(v_2,v_1)$,则称 $B$ 对称;若 $B(v_1,v_2) = -B(v_2,v_1)$,则称 $B$ 反对称

非退化双线性形式

  • 设 $B \in \operatorname{Bil}(V,W;F)$,$B$ 的左根为 ${v \in V:B(v,\cdot) = 0}$,$B$ 的右根为 ${w \in W:B(\cdot,w) = 0}$,若 $\dim V,\dim W < \infty$ 且左根和右根均为零空间,则称 $B$ 非退化
  • 设 $\dim V < \infty$,$\lang\cdot,\cdot\rang_V$ 非退化。
  • 设 $B \in \operatorname{Bil}(V,W;F)$,依同构得到 $\psi \in \operatorname{Hom}(V,W^\vee)$ 和 $\varphi \in \operatorname{Hom}(W,V^\vee)$,则 $B$ 的左根为 $\ker \psi$,右根为 $\ker \varphi$。
  • 若 $\dim V,\dim W < \infty$,则仅当 $\dim V = \dim W$ 时才可能存在非退化双线性形式。
  • 设 $\dim V = \dim W < \infty$,对 $B \in \operatorname{Bil}(V,W;F)$,如下三个性质等价,此时 $\psi$ 和 $\varphi$ 都是同构:
    • $B$ 非退化。
    • $B$ 的左根为零空间。
    • $B$ 的右根为零空间。
  • 设 $B \in \operatorname{Bil}(F^n,F^n;F)$,依同构得到 $A \in \mathrm{M}_{n \times n}(F)$,$B$ 非退化等价于 $A$ 可逆。
  • 设 $i = 1,2$,$\dim V_i,\dim V_i^\prime < \infty$,$B_i \in \operatorname{Bil}(V_i,V_i^\prime;F)$,$B_1$ 非退化。存在唯一的线性映射 $\operatorname{Hom}(V_1,V_2) \to \operatorname{Hom}(V_2^\prime,V_1^\prime)$,$T \mapsto {}^T$,满足 $\forall v_1 \in V_1, v_2^\prime \in V_2^\prime$,$B_2(Tv_1,v_2^\prime) = B_1(v_1,{}^Tv_2^\prime)$。其中 ${}^T$ 称为 $T$ 相对于 $B_1$ 和 $B_2$ 的(右)伴随映射。若 $V_1 = V_2$,$V_1^\prime = V_2^\prime$,$B_1=B_2=B$,则 ${}^T$ 称为 $T$ 相对于 $B$ 的(右)伴随映射。同理对 $T:V_1^\prime \to V_2^\prime$ 有左伴随映射 $T^:V_2 \to V_1$ 满足 $B_2(v_2, T v_1^{\prime})=B_1(T^ v_2, v_1^{\prime})$。
  • ${}^(ST) = {}^T{}^*S$。
  • $({}^T)^ = T = {}^(T^)$。
  • 若 $V_i = V_i^\prime$ 且 $B_1,B_2$ 都对称或都反对称,则 ${}^T = T^$,${}^{}T = T = T^{}$。
  • 设 $B \in \operatorname{Bil}(V,V;F)$ 非退化,对 $T \in \operatorname{End}(V)$,若 ${}^T = T$,则称 $T$ 自伴,对应 ${}^tA = A$;若 ${}^T = -T$,则称 $T$ 反自伴,对应 ${}^tA = -A$。

二次型

  • 下设 $\operatorname{char}(F) \ne 2$,即 $1_F+1_F \ne 0_F$,此时可以作「除以 $2$」的运算。
  • $n$ 元齐次二次多项式 $f(x_1,\cdots,x_n) = \sum_{1\le i,j\le n} a_{ij}x_ix_j = \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} 2a_{ij}x_ix_j$ 称为 $n$ 元二次型
  • $A = (a_{ij}){i,j} \in \mathrm M{n \times n}(F)$ 是对称矩阵,$[B(v_1,v_2) = {}^tv_1Av_2] \in \operatorname{Bil}(F^n,F^n;F)$ 是对称双线性形式。
  • $B(v,v) = f(v)$,$B(v_1,v_2) = \frac 12(f(v_1+v_2) – f(v_1) – f(v_2))$。
  • 若 $\dim V < \infty$,$B \in \operatorname{Bil}(V,V;F)$ 对称,则有二次型 $(V,B)$。此时 $B$ 的左根等于右根,统称为 $B$ 的根基。若 $B$ 非退化,则称 $(V,B)$ 非退化。从 $(V, B)$ 到 $(V^{\prime}, B^{\prime})$ 的同构为满足 $B^{\prime}(\varphi(v_1), \varphi(v_2))=B(v_1, v_2)$ 的线性同构 $\varphi: V \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V^{\prime}$。
  • 设 $A,A^\prime \in \mathrm M_{n \times n}(F)$,若存在可逆的 $C \in \mathrm M_{n \times n}(F)$ 使得 $A^\prime = {}^tCAC$,则称 $A$ 和 $A^\prime$ 合同
  • 合同是 $\mathrm M_{n \times n}(F)$ 上的等价关系。
  • 若 $A$ 和 $A^\prime$ 合同,$A$ 对称,则 $A^\prime$ 对称。
  • 设 $f,f^\prime$ 为 $n$ 元二次型,对应的对称矩阵为 $A,A^\prime \in \mathrm M_{n \times n}(F)$,则 $f,f^\prime$ 同构等价于 $A,A^\prime$ 合同。

配方法

  • 任意 $n$ 元二次型都同构于形如 $\sum_{i=1}^n a_ix_i^2$ 的二次型。
  • 将任意 $n$ 元二次型化为 $f = \sum_{i=1}^r a_ix_i^2(a_i \ne 0)$ 的形式,其中 $r$ 成为 $f$ 的,则 $f$ 的根基为 $\lang e_{r+1},\cdots,e_n \rang$。
  • 当 $F = \mathbb C$ 时,可进一步化为 $f = \sum_{i=1}^r x_i^2$ 的形式,故二次型同构等价于等秩。

实二次型的分类

  • 当 $F = \mathbb R$ 时,可进一步化为 $f = \sum_{i=1}^p x_i^2 – \sum_{i=p+1}^r x_i^2$ 的形式,称此形式为规范形
  • 设 $B \in \operatorname{Bil}(V,V;\mathbb R)$ 对称,若 $B(v,v) \ge 0$ 恒成立,则称 $B$ 半正定;进一步地,若对 $v \ne 0$,$B(v,v) > 0$ 恒成立,则称 $B$ 正定。若 $-B$ (半)正定,则称 $B$ (半)负定。以上皆非则称为不定
  • $f$ 半正定等价于 $p=r$,$f$ 正定等价于 $p=r=n$。
  • 惯性定理:$n$ 元实二次型的规范形是唯一确定的。
  • 规范形中的 $p$ 称为实二次型 $f$ 的正惯性指数,$r − p$ 称为负惯性指数,而两者的差 $2p − r$ 称为 $f$ 的符号差

内积空间

  • 取 $F = \mathbb R$。

标准内积

  • 标准内积 $(x|y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i$。

内积空间

  • 实向量空间 $V$ 上的正定对称双线性型 $(\cdot|\cdot) : V \times V \to \mathbb R$ 称为内积,$(V,(\cdot|\cdot))$ 称为内积空间
  • 若 $\dim V < \infty$,正定性蕴涵非退化。
  • $v \in V$ 的长度 $|v| = \sqrt{(v|v)}$。
  • 满足 $|v| = 1$ 的向量称为单位向量
  • 若 $v,w \in V$ 满足 $(v|w) = 0$,则称它们正交,写作 $v \perp w$,此时有 $|v+w|^2=|v|^2+|w|^2$。
  • 配极化:$(v | w)=\frac{1}{2}(|v+w|^2-|v|^2-|w|^2)$。
  • $(v | w)^2 \leq(v | v)(w | w)$,$v,w$ 线性相关时等号成立。
  • $|v+w| \leq|v|+|w|$,$v,w$ 线性相关时等号成立。

正交化

  • 若 $V$ 中的一族非零元素两两正交,则称之为正交向量族;若进一步要求它们都是单位向量,则称之为单位正交向量族
  • 正交向量族必然线性无关。
  • 由单位正交向量族给出的基称为单位正交基
  • 正交化:设 $V$ 中的一族向量 $v_1,\cdots,v_m$ 线性无关,定义 $w_1 = v_1$,$w_k = v_k-\sum_{i=1}^{k-1} \frac{(v_k | w_i)}{(w_i | w_i)} \cdot w_i(1 < k \le m)$,则 $w_1,\cdots,w_m$ 是正交向量族。
  • 任何有限维内积空间中的单位正交向量族都能扩充为单位正交基。
  • 任何有限维内积空间都有单位正交基。
  • 设 $S \subseteq V$,其正交补 $S^{\perp}:={v \in V: \forall s \in S,(s | v)=0}$。
  • 设 $V_0 \subseteq V$ 且 $\dim V_0 < \infty$,则 $V = V_0 \oplus V_0^{\perp}$。

伴随映射

  • 设 $T \in \operatorname{Hom}(V, W)$,$\dim V,\dim W < \infty$,则 $(Tv_1|Tv_2)_W = (v_1|v_2)_V$ 等价于 ${}^*T \cdot T = \operatorname{id}_V$;进一步地,若 $\dim V = \dim W$,则 ${}^*T = T^{-1}$,对应 ${}^tA = A^{-1}$,此时称 $A$ 正交

自伴映射的对角化

  • 若 $T \in \operatorname{End}(V)$,$V_0$ 是 $V$ 的 $T$-不变子空间,则 $V_0^\perp$ 是 ${}^*T$-不变子空间。
  • 设 $T \in \operatorname{End}(V)$ 自伴,即 ${}^* T = T$,则 $T$ 可对角化,且存在 $V$ 的单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 使得每个 $v_i$ 都是 $T$ 的特征向量。对应到矩阵,即 ${}^tA = A$,取 $P$ 为以单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 为列向量的矩阵,则 $P$ 正交,$P^{-1}AP$ 将 $A$ 正交对角化,又由于 ${}^tP = P^{-1}$,此又为合同。

顺序主子式

  • 设 $A = (a_{ij}){1\le i,j\le n}$,$n$ 个行列式 $\begin{vmatrix}a{11}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} \
    a_{21} & a_{22}
    \end{vmatrix},\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \
    a_{21} & a_{22} & a_{23} \
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
    \end{vmatrix}, \cdots,\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \
    \vdots & & \ddots & \vdots \
    a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
    \end{vmatrix}$ 称为 $A$ 的顺序主子式
  • 设 $B \in \operatorname{Bil}(\mathbb R^n,\mathbb R^n;\mathbb R)$ 对称,$B$ 正定等价于对应 $A \in \mathrm{M}_{n \times n}(\mathbb R)$ 的所有特征值都是正数,等价于 $A$ 的所有顺序主子式都是正数。

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