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Educational Codeforces Round 81 (Rated for Div. 2)

Display The Number

全 $1$ 最优，如果 $n$ 为奇数则将最开始的 $1$ 换成 $7$ 即可。

const int N = 1e5 + 7;
int n;

inline void solve() {
    rd(n);
    if (n & 1) n -= 3, putchar('7');
    while (n) n -= 2, putchar('1');
    puts("");
}

int main() {
    int T;
    rd(T);
    while (T--) solve();
    return 0;
}

Infinite Prefixes

判掉 $\Sigma = 0$ 的情况（要么无解要么无限），枚举每个下标作为前缀最后一个数是否符合条件即可。

const int N = 1e5 + 7;
int n, m, a[N];
char s[N];

inline void solve() {
    rd(n), rd(m), rds(s, n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i-1] + (s[i] == '0' ? 1 : -1);
    if (!a[n]) {
        int l = 0, r = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            l = min(l, a[i]), r = max(r, a[i]);
        if (l <= m && m <= r) print(-1);
        else print(0);
        return;
    }
    int t = !m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if ((m - a[i]) % a[n] == 0 && (m - a[i]) / a[n] >= 0) ++t;
    print(t);
}

int main() {
    int T;
    rd(T);
    while (T--) solve();
    return 0;
}

Obtain The String

预处理每个位置往后的第一个 $\texttt{a} \sim \texttt{z}$，用 $t$ 去模拟匹配即可。

const int N = 1e5 + 7;
int n, m, f[N][26], v[26];
char s[N], t[N];

inline void solve() {
    rds(s, n), rds(t, m);
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < 26; i++) v[i] = n + 1;
    for (int i = n; i; i--) {
        for (int j = 0; j < 26; j++) f[i][j] = v[j];
        v[s[i]-'a'] = i;
    }
    for (int i = 0; i < 26; i++) f[0][i] = v[i];
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        int c = t[i] - 'a';
        if (f[j][c] != n + 1) j = f[j][c];
        else {
            ++ans;
            if (f[0][c] == n + 1) return print(-1);
            j = f[0][c];
        }
    }
    print(ans);
}

int main() {
    int T;
    rd(T);
    while (T--) solve();
    return 0;
}

Same GCDs

$ans = \varphi(\frac{m}{\gcd(n, m)})$。

inline void solve() {
    ll n, m;
    rd(n), rd(m);
    ll d = __gcd(n, m);
    m /= d;
    ll ans = n = m;
    for (ll i = 2; i * i <= n; i++)
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    print(ans);
}

int main() {
    int T;
    rd(T);
    while (T--) solve();
    return 0;
}

Permutation Separation

转化一下题意：

平面上有 $n$ 个点 $(i, p_i)$，你需要找到一个点 $(x,y)(x \in [1, n), y \in [0, n])$，使得在这个点的严格右下和严格左上的点的权值和最小。

线段树维护区间加和全局最小值即可。

const int N = 2e5 + 7;
int n, a[N], b[N], p[N];
ll s[N];
struct T {
    int l, r;
    ll x, z;
} t[N*4];

void build(int p, int l, int r) {
    t[p].l = l, t[p].r = r;
    if (l == r) return t[p].x = s[l], void();
    build(ls, l, md), build(rs, md + 1, r);
    t[p].x = min(t[ls].x, t[rs].x);
}

void spd(int p) {
    if (t[p].z) {
        t[ls].x += t[p].z;
        t[ls].z += t[p].z;
        t[rs].x += t[p].z;
        t[rs].z += t[p].z;
        t[p].z = 0;
    }
}

void add(int p, int l, int r, int k) {
    if (t[p].l >= l && t[p].r <= r) return t[p].x += k, t[p].z += k, void();
    spd(p);
    if (l <= md) add(ls, l, r, k);
    if (r > md) add(rs, l, r, k);
    t[p].x = min(t[ls].x, t[rs].x);
}

int main() {
    rd(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) rd(a[i]), p[a[i]] = i; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) rd(b[i]), s[i] = s[i-1] + b[i];
    build(1, 1, n - 1);
    ll ans = t[1].x;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (p[i] > 1) add(1, 1, p[i] - 1, b[p[i]]);
        if (p[i] < n) add(1, p[i], n - 1, -b[p[i]]);
        ans = min(ans, t[1].x);
    }
    print(ans);
    return 0;
}

Good Contest

题意即 $a_i$ 在 $[l_i, r_i]$ 等概率随机，求 $a_{1 \dots n}$ 不增的概率。

跟 P3643 [APIO2016]划艇 几乎一样：$a_i$ 在 $[l_i, r_i]$ 等概率随机，也可以跳过，求形成的序列递增的方案数。

先考虑这题。

首先将区间离散化成若干个左闭右开的区间。

设 $f_{i, j}$ 表示考虑到 $a_i$，$a_i$ 在第 $j$ 个区间内的方案数。

枚举上一个在 $j$ 之前的位置 $a_k$ 转移。

设 $k + 1 \sim i$ 中有 $c$ 个位置可以选择第 $j$ 个区间，设第 $j$ 个区间的长度为 $l_j$，则方案数为 $\binom{l_j + c}{c}$。

需要前缀和优化，时间复杂度 $\mathcal O(n^3)$。

const int N = 507;
int n, a[N], b[N], c[N*2], t;
modint f[N], g[N], ans;

int main() {
    rd(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        rd(a[i]), rd(b[i]), c[++t] = a[i], c[++t] = ++b[i];
    sort(c + 1, c + t + 1), t = unique(c + 1, c + t + 1) - (c + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = lower_bound(c + 1, c + t + 1, a[i]) - c,
        b[i] = lower_bound(c + 1, c + t + 1, b[i]) - c;
    f[0] = 1;
    for (int j = 1; j < t; j++) {
        int l = c[j+1] - c[j];
        g[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) g[i] = g[i-1] * (l + i - 1) / i;
        for (int i = n; i; i--)
            if (a[i] <= j && j < b[i])
                for (int c = 1, k = i - 1; ~k; k--) {
                    f[i] += g[c] * f[k];
                    if (a[k] <= j && j < b[k]) ++c;
                }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += f[i];
    print(ans);
    return 0;
}

再来看原题就很简单了，照着做即可。

const int N = 57;
int n, a[N], b[N], c[N*2], t;
modint f[N], g[N], ans;

int main() {
    rd(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        rd(a[i]), rd(b[i]), c[++t] = a[i], c[++t] = ++b[i];
    sort(c + 1, c + t + 1), t = unique(c + 1, c + t + 1) - (c + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = lower_bound(c + 1, c + t + 1, a[i]) - c,
        b[i] = lower_bound(c + 1, c + t + 1, b[i]) - c;
    f[0] = 1;
    for (int j = t - 1; j; j--) {
        int l = c[j+1] - c[j];
        g[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) g[i] = g[i-1] * (l + i - 1) / i;
        for (int i = n; i; i--)
            if (a[i] <= j && j < b[i])
                for (int c = 1, k = i - 1; ~k; k--, ++c) {
                    f[i] += g[c] * f[k];
                    if (a[k] > j || j >= b[k]) break;
                }
    }
    ans = f[n];
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans /= c[b[i]] - c[a[i]];
    print(ans);
    return 0;
}